Hoofdstuk 1 De opbouw van een meetsysteem
1.1 Meten van grootheden
Wetenschappelijke meting; waarneming die tot doel heeft om een verschijnsel op een eenduidige manier te
beschrijven. Ook wel objectieve waarnemingen. Een meting is er op gericht om een numerieke waarde te
verkrijgen die aangeeft hoe een grootheid zich verhoudt tot een bepaalde standaard of eenheid.
In de meeste gevallen wordt de waarde van een grootheid bepaald middels indirecte metingen. De gemeten
grootheid wordt in een andere fysische grootheid omgezet. Zoals bij het meten van de temperatuur; door
stijging van de temperatuur zet het kwik uit en stijgt het dus in de capillair. Aan de hand van de hoogte van het
kwik kan de temperatuur afgelezen worden. Deze ‘omzetters’ zijn sensoren of transducers. Deze zijn gevoelig
voor een specifieke grootheid. Tegenwoordig bestaan de meeste meetsystemen uit elektrische transducers.
Hierdoor kunnen fysische grootheden omgezet worden in elektrische grootheden. De informatieoverdracht
van elektrische meetsystemen is stabieler dan bij mechanische meetsystemen.
Het verkrijgen van meetgegevens middels een computer wordt ook wel (digitale) data-acquisitie genoemd.
Analoge signalen moeten dan wel worden omgezet in digitale signalen.
1.1 Analoge en digitale signalen
Signaal; bestaat uit meetgegevens die de grootte van een grootheid beschrijft als functie van de tijd. Dit kan
worden weergegeven in een grafiek waarbij de tijd op de horizontale as staat. Een analoog signaal is een
continu signaal, het kan dus alle mogelijke waarden aannemen op elk mogelijk tijdstip. Hierdoor kan het een
fysische grootheid met oneindige precisie weer geven. Een digitaal signaal is niet-continu, oftewel discreet.
Een signaal met een discrete tijd bevat de waarde van een grootheid op een beperkt aantal tijdstippen. Een
digitaal signaal met discrete grootte is het aflezen van een digitale koortsthermometer. Deze geeft geen
verloop aan, maar alleen de waarde van dat moment. Een digitaal signaal is dus beperkt in staat om
veranderingen in de grootte van een grootheid en/of tijd weer te geven. Daarom is het per definitie minder
nauwkeurig.
1.2 Voorbeeld van een eenvoudig meetsysteem
Het betreft een meetsysteem dat de temperatuur bepaalt en weergeeft. Voor het meten van de temperatuur
wordt gebruik gemaakt van een temperatuur gevoelige sensor, thermistor; een elektrische sensor waarvan de
weerstand afhankelijk is van de temperatuur. Bij een toenemende temperatuur neemt de weerstand volgens
een niet-lineair verband af. Het verband tussen temperatuur en de weerstand wordt weergegeven door de
1 3
Steinhart en Hart vergelijking; =a0 +a1 ln(RT )+ a3 ln( RT ) . Hierin zijn T en RT respectievelijk de
T
temperatuur en de temperatuur afhankelijke weerstand. De coëfficiënten bepalen de vorm van de curve en
worden bepaald door een kalibratieprocedure. Omdat een computer alleen maar elektrische spanningen kan
meten dient de thermistor opgenomen te worden in een elektrische schakeling; spanningsdeler. De
spanningsdeler wordt gespecificeerd door de spanningsbron met constante referentiespanning (U ref) en de
constante weerstandswaarde Rserie. De weerstand staat in serie met RT. De uitgangsspanning van de
spanningsdeler (UT) wordt gemeten door de computer. De relatie tussen U T en RT wordt gegeven door de wet
U ref
van Ohm; RT =( −1)× Rserie . UT is een analoog signaal en dus kan de grootte niet direct door de computer
UT
worden bepaald (alleen digitale signalen). De spanning moet eerst worden geconverteerd middels een Analog
to Digital Converter (ADC). Met behulp van de verkregen digitale waarde voor U T kan de software op de
computer T berekenen.
1.4 De functionele componenten van een meetsysteem
Een blokschema geeft een schematisch overzicht van de mogelijke functies die componenten van een
meetsysteem kunnen vervullen. In het schema staan de 1) sensor/transducer, 2) signaalconditionering,
signaalverwerking en signaaltransport, en 3) de visualisatie, opslag en gebruik van de gemeten data.
Signaalconditionering; aanpassen van het uitgangssignaal van een meetelement, aan het ingangssignaal van
het daaropvolgende meetelement.
Signaalverwerking; het uitgangssignaal van de signaalconditionering omzetten in een andere vorm zodat deze
geschikt is voor het experiment. Dit gebeurt meestal door de software op de computer.
,Voor de opkomst van de digitale weergave mogelijkheden werd een weergave veelal weergegeven met behulp
van een wijzerstand. Er moet dan rekening worden gehouden met afleesonnauwkeurigheden. Anderzijds
wordt de nauwkeurigheid van de digitale weergave bepaald door het aantal cijfers van de display.
Signaaltransport; het elektrische signaal verplaatst zich van het ene naar het andere component. Meestal
gebeurt dit door draden, er zijn ook draadloze verbindingen mogelijk waarbij gebruikt wordt gemaakt van een
zender en ontvanger. Het signaal kan verzwakken, vervormen of verstoord worden door elektromagnetische
straling afkomstig van omringende elektrische apparatuur.
Opslag; meetgegevens worden opgeslagen door een file op de harddisk van de computer.
Vaak wordt een meetsignaal direct gebruikt om een proces te sturen. Dit valt niet onder het meten van een
grootheid. Het meetsysteem maakt namelijk onderdeel uit van een regelsysteem. Een eenvoudig voorbeeld
van een dergelijke regelsysteem is de thermostaat in huis, waarbij de gewenste en gemeten temperatuur
bepalend zijn voor de mate waarin een huis wordt verwarmd. De gemeten temperatuur wordt teruggekoppeld
naar het regelsysteem die zorg draagt voor het aan- en uitschakelen van de verwarming zodat de gewenste
kamertemperatuur behouden blijft.
1.5 Het stroomdiagram van een meetopstelling
Door een stroomdiagram wordt het verloop van het gemeten signaal door de afzonderlijke onderdelen van
het meetsysteem duidelijk. De basis van het stroomdiagram wordt gedefinieerd door de blokken van het
blokschema.
Hoofdstuk 2 Fourier-analyse
2.1 Frequentie van een signaal
Periodieke signalen; de grootte herhaalt zich in de tijd. De frequentie geeft aan hoe vaak een bepaalde
gebeurtenis plaatsvindt. Een hoge frequentie betekent dat een gebeurtenis zich snel herhaalt in de tijd. Voor
het bepalen van alle frequenties die in een signaal aanwezig zijn wordt de Fourier-analyse gebruikt. Fourier
heeft aangetoond dat elk willekeurig signaal bestaat uit de som van verschillende sinus- en cosinusfuncties.
Deze functies onderscheiden zich van elkaar door verschillende frequentie en amplitude. De analyse geeft dus
een overzicht van welke frequenties aanwezig zijn en met welke amplitude; frequentie-inhoud van een signaal.
2.2 Frequentie van een goniometrische functie
Om de sinus- en cosinusfuncties te gebruiken voor het beschrijven van tijdsafhankelijke signalen dient het
argument tijdsafhankelijk gemaakt te worden. Daartoe wordt het argument van de goniometrische functies
veranderd in ωt waarbij ω de hoekfrequentie of hoeksnelheid wordt genoemd en t de tijd. De coördinaten
worden beschreven door de volgende tijdsafhankelijke goniometrische relaties:
𝑥(𝑡) = 𝑟 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
2.3 Theorie van Fourier; definitie’s
Elk willekeurig signaal is opgebouwd uit verschillende sinus- en cosinusfuncties, oftewel; de sinus- en
cosinusfuncties vormen de elementaire bouwstenen van een signaal.
2.4 Toepassingen
Fourier-analyse vervult een belangrijke rol in de data-analyse van fysische signalen. Een aantal belangrijke
redenen waarom de Fourier-analyse zo belangrijk is;
- Data-analyse; bij ritmische bewegingen. Het (continue) amplitude- en vermogensspectrum laat door
de pieken, de dominante frequenties in het signaal zien. De frequentie-inhoud van een signaal kan dus
bruikbare informatie bevatten over het proces of systeem waar het signaal van afkomstig is. Het is dus
handiger om deze signalen niet als functie van tijd te beschouwen, maar als grootheid met een
bepaalde frequentie-inhoud. Het signaal is beschreven in frequentiedomein en niet in tijdsdomein.
- Digitale data-acquisitie; voor het digitaliseren van een signaal is het noodzakelijk om de belangrijke
frequenties van een signaal te kennen. Alleen dan kan de samplefrequentie goed worden gekozen
- Eigenschappen van apparatuur; voor alle apparaten waarmee metingen worden verricht, is het
noodzakelijk om de frequentie-inhoud van de te meten signalen te kennen. Apparatuur is namelijk
alleen bruikbaar in een bepaald frequentiegebied. Dit gebied moet overeenstemmen met de in het
signaal voorkomende frequenties
, - Filteren; de frequenties in het stoorsignaal kunnen worden bepaald middels de Fourier-analyse zodat
een geschikt filter kan worden gebruikt om het stoorsignaal uit het meetsignaal te verwijderen. Tevens
kan men bepalen in welke mate het toegepaste filter ook het oorspronkelijke signaal verwijderd
De sinus- en cosinusfuncties worden de Fouriertermen genoemd. De Fourierreeks; 𝑦(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑐𝑜𝑠( 𝜔𝑡) + 𝑎2
𝑐𝑜𝑠( 2𝜔𝑡) + 𝑎3 𝑐𝑜𝑠( 3𝜔𝑡)+. . . . . +𝑏1 𝑠𝑖𝑛( 𝜔𝑡) + 𝑏2 𝑠𝑖𝑛( 2𝜔𝑡) + 𝑏3 𝑠𝑖𝑛( 3𝜔𝑡)+. . .. Het constante deel wordt
gegeven door 𝑎0; het gemiddelde van het signaal. Het fluctuerende deel wordt gegeven door de afzonderlijke
sinus- en cosinusfuncties. a en b zijn de Fouriercoëfficiënten. Voor alle waarden met n > 0 geldt dat de
Fouriercoëfficiënten an en bn de amplitude van respectievelijk de cos en sin functies weergeven.
De hoekfrequentie ω is de kleinste (hoek)frequentie in de reeks en wordt de grondfrequentie genoemd. Alle
andere frequenties zijn een veelvoud van deze grondfrequentie, namelijk nω. De grootte van de
grondfrequentie wordt bepaald door de periodetijd van het periodieke signaal. Indien de periodetijd van het
2π
periodieke signaal gelijk is aan T dan is de grondfrequentie van de Fourierreeks gelijk aan; ω= . De som a1
T
cos(ωt) +b1 sin(ωt) wordt de grondharmonische genoemd.
2.5 De Fourierreeks van een blokgolf
Het is mogelijk om met sinusfuncties een blokvormig signaal te construeren. De frequentie van de eerste sinus
(y1) die een bijdrage levert is gelijk aan f=1/(periodetijd blokgolf)=1 hz. De tweede sinusfunctie die nodig is is
sin y3. Deze frequentie is drie keer groter dan de frequentie van y1 en heeft een amplitude drie keer kleiner
dan de amplitude van de grondharmonische. De derde Fourierterm is de sinusfunctie met een vijf keer grotere
frequentie en 1/5 van de amplitude.
In deze analysemethode wordt niet zo zeer de frequentie f maar de hoekfrequentie ω=2πf gebruikt. Een plot
van de amplitude van alle sinusfuncties als functie van de frequentie van desbetreffende sinusfunctie heet het
amplitudespectrum van een signaal. Aangezien de amplitude in het kwadraat een maat is voor het vermogen,
kan door kwadrateren van de amplitudes ook het zogenaamde vermogensspectrum worden gegeven. De
kennis over het amplitude- of het vermogensspectrum is van belang voor de verdere bewerking van het
signaal. Soms is het zelfs handiger om het signaal niet meer als functie van tijd te beschouwen, maar als
grootheid met een bepaalde frequentie-inhoud.
2.6 Formules voor berekening van de Fouriercoëfficiënten
Voor het berekenen van de Fouriercoëfficiënten dient te worden geïntegreerd over het tijdsinterval [0,T]. Voor
a0 geldt dat dit gelijk is aan het bepalen van het gemiddelde van het signaal y(t) over één periode. Voor het
berekenen van de andere coëfficiënten dient men de integraal te bepalen van de vermenigvuldiging van y(t)
met een sin(nωt) of cos(nωt) functie.
2.8 De totale bijdrage van een frequentie aan een signaal
De meeste periodieke signalen bestaan uit zowel an- als bn-coëfficiënten die ongelijk zijn aan nul. De meeste
reeksen bestaan dus uit sinus- en cosinusfuncties. Meestal is men echter geïnteresseerd in de totale bijdrage
van een bepaalde frequentie. Om dit te bereiken dienen de sinus- en cosinusfunctie met gelijke frequenties te
worden samengevoegd tot één sinusfunctie. De totale bijdrage van een bepaalde frequentie wordt dan
gegeven door de amplitude van de sinusfunctie met frequentie nω en fasehoek φn. De Fourier-analyse van een
periodiek signaal leidt altijd tot een lijnenspectrum in tegenstelling tot algemene of niet periodieke signalen.
2.9 Algemene signalen
Voor algemene oftewel niet-periodieke signalen geldt dat de frequenties die een bijdrage leveren niet
uitgedrukt kunnen worden in termen van één bepaalde grondfrequentie. Het signaal is immers niet periodiek
en een grondfrequentie kan niet worden bepaald middels de periodetijd. Dit heeft tot gevolg dat voor niet-
periodieke signalen geldt dat alle frequenties in principe kunnen voorkomen. Het amplitude- en
vermogensspectrum is dan niet meer gelijk aan een lijnenspectrum maar wordt gevormd door continue
waarden. Wiskundig gezien komt de overgang van discrete naar continue waarden neer op vervanging van het
sommatieteken door een integratie-teken. Omdat er voor algemene signalen geen (zuivere) periodiciteit
bestaat kan het integratiegebied niet beperkt blijven tot een tijdsinterval van één periode.
Hoofdstuk 3 Digitale data-acquisitie
De computer in een meetopstelling is verantwoordelijk voor de verwerking, visualisatie en opslag van signalen
en kan onderdeel uitmaken van een regelsysteem. Ook analyseert het de data
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, creditcard of Stuvia-tegoed voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper sophiem02. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €4,49. Je zit daarna nergens aan vast.
