Verhoudingen, procenten,
breuken en kommagetallen
Hoofdstuk 1: Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen.
Hoofdstuk 2: Verhoudingen.
Hoofdstuk 3: Procenten.
Hoofdstuk 4: Breuken.
Hoofdstuk 5: Kommagetallen.
Hoofdstuk 6: Leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde
Hoofdstuk 7: Differentiatie: passend reken-wiskundeonderwijs
Naam: Puck van der Plaat
Leerjaar: 2
Datum toets: 10 januari 2022
,Hoofdstuk 1: Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Wiskundig gezien bestaat er een aantal overeenkomsten tussen de domeinen verhoudingen, gebroken
getallen en procenten. Zo kun je bij ieder domein een relatief aspect onderscheiden, zijn
kommagetallen decimale breuken en kunnen breuken en procenten allebei een verhouding aangeven.
- Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel.
- Een percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel dat op honderd gesteld
is.
Aan de andere kant kennen de domeinen elk hun eigen gebruik en verschijningsvormen in de realiteit.
Bij notatie van geldbedragen gebruiken we bijvoorbeeld kommagetallen en geen breuken. Procenten
kom je veel tegen bij korting of rente.
In het dagelijks leven gebruiken we verhoudingen, breuken en procenten door elkaar.
1.1.2 Absoluut en relatief
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen.
Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet
direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt aflezen.
Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het onderscheid tussen absoluut en relatief
van groot belang. Zonder begrip van dit onderscheid kun je namelijk veel informatie uit de krant en
het nieuws niet goed begrijpen. Om kinderen greep te laten krijgen op dit cruciale onderscheid, is het
nodig om absolute en relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met elkaar in
verband te brengen. Dit kan bijvoorbeeld met het strookmodel.
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het verstandig de getallen
benoemd te noteren. Dit helpt om het onderscheid tussen absolute en relatieve gegevens duidelijk te
houden.
1.2 Onderlinge relaties
Om goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
moeten kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen deze subdomeinen.
1.2.1 Begrip
Om kinderen greep te laten krijgen op de betekenissen van verhoudingen, procenten en gebroken
getallen, besteden reken-wiskundemethodes aandacht aan de verschillende verschijningsvormen
hiervan. Om de samenhang te kunnen doorzien, is het ook nodig dat kinderen leren dat de domeinen
in de realiteit door elkaar voorkomen. Daarnaast leren kinderen de betekenis van bewerkingen met
verhoudingen en breuken te doorzien. Zodoende kunnen kinderen ook onderlinge relaties
beredeneren, waardoor ze deze niet allemaal afzonderlijk leren.
Ook als kinderen al goed zicht hebben op betekenissen en verschijningsvormen van verhoudingen,
procenten en gebroken getallen, blijft het helpen om onderlinge relaties te visualiseren.
Breuken en kommagetallen
In betekenis komen ze met elkaar overeen: het zijn allebei gebroken getallen. De notatie verschilt
echter: kommagetallen lijken juist op hele getallen en niet op breuken. Wiskundig gezien zijn hele
getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationele getallen met verschillende notatiewijzen.
,Qua verschijningsvormen in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat je zowel breuken als
kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Verder zijn er vooral verschillen: breuken komen vaker
voor als deel van geheel en deel van een hoeveelheid, kommagetallen bijna nooit.
Alle breuken kunnen als kommagetallen worden genoteerd.
Een moeilijkheid is het gegeven dat het rekengetal 0,1=0,10. Dit lijkt misschien vanzelfsprekend,
maar dat is het voor kinderen zeker niet. Een manier om hier inzichtelijk mee om te gaan, is het
gebruik van verschillende ondermaten die de kinderen zelf kunnen beredeneren. Bijvoorbeeld 0,1
meter is 1 decimeter.
Van breuk naar kommagetal
Wanneer je breuken als kommagetal schrijft door de breuk op te vatten als een deling, kom je tot de
ontdekking dat de uitkomst van die deling een bijzonder uiterlijk heeft. Als je de uitkomst van 1/7
hoofdrekenend bepaalt, is die ontdekking heel makkelijk te doen.
Hoeveel zevens gaan er in 1? 0, noteer 0 en een komma. Over 1.
Hoeveel zevens gaan er in 10? 1, over 3.
Hoeveel zevens gaan er in 30? 4, over 2.
Hoeveel zevens gaan er in 20? 2, over 6.
Hoeveel zevens gaan er in 60? 8, over 4.
Hoeveel zevens gaan er in 40? 5, over 5.
Hoeveel zevens gaan er in 50? 7, over 1.
Vanaf hier gaat het zich herhalen. Je krijgt dus 0, 142857…. De breuk 1/7 heet een repeterende breuk
en de sliert 142857 heet het repetendum.
Van kommagetal naar breuk
Als de breuk niet repeteert, is het omzetten eenvoudig. 3,152 = 3 + 1/10 + 5/100 + 2/1000 = 3
152/1000 = 3 19/125.
Bij een repeterende breuk, 0,461538461538… pas je de volgende handigheid toe. Vermenigvuldig het
gezochte getal net zo vaak met 10 als het repetendum lang is. Trek van deze uitkomst de gezochte
breuk af, dan verdwijnen alle decimalen. Wat overblijft is 999999 keer het gezochte getal met als
uitkomst 461538. Daarmee is de breuk bekend: 461538/999999 en die vereenvoudig je in een aantal
stappen tot 6/13.
Breuken en procenten
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een breuk als absoluut getal kun je
weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet iets met een getal,
hoeveelheid of prijs.
1.2.2 Weetjes
Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn. Dit soort
‘weetjes’ moet snel beschikbaar zijn, zodat kinderen ze flexibel kunnen toepassen bij het redeneren en
rekenen met breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen.
Allerlei weetjes oefen je in. Al snel op formeel niveau, maar eest ook nog modelondersteunend.
Productief oefenen
Een manier van veel oefenen is door kinderen zelf opgaven te laten bedenken. Op deze manier
gebruiken ze meer kennis die ze al hebben, denken ze na over de leerinhoud en oefenen ze
tegelijkertijd. Deze manier van oefenen heet productief oefenen, omdat kinderen zelf opgaven en
weetjes produceren.
, Hoofdstuk 2: Verhoudingen
2.1 verhoudingen zijn overal
2.1.1 Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Als 1 op de 4 pabostudenten een jongen is, dan zitten op een pabo met ongeveer 800
studenten zo’n 200 jongens. Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot
wordt, het andere getal ook zoveel keer zo groot wordt.
Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden. Verhoudingen maken het mogelijk zaken met
elkaar te vergelijken.
Veel voorkomende verschijningsvormen van verhoudingen zijn:
Sterkte van koffie;
Recepten;
Snelheid;
Bevolkingsdichtheid;
Gewicht en prijs;
Schaal;
Inhoud en prijs.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op honderd gesteld.
Het uitdrukken van zaken in verhoudingen helpt om informatie letterlijk, maar ook figuurlijk in
verhouding te zien, oftewel op waarde te kunnen schatten.
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht te trekken.
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Kwantitatieve verhoudingen worden uitgedrukt in één of meer getallen. Kwalitatieve verhoudingen
worden uitgedrukt in woorden. Een kwalitatieve verhouding is vaak een meetkundige verband. Zodra
je er een getal aan toekent, is sprake van een kwantitatieve verhouding.
Interne en externe verhoudingen
Als een verhouding één grootheid of eenheid betreft, spreek je van een interne verhouding.
Voorbeeld: ‘De spoorbomen zijn 1 op de 10 minuten dicht’. Een externe verhouding betreft twee
verschillende grootheden. Voorbeelden hiervan zijn afgelegde afstand in een bepaalde tijd
(samengestelde grootheid snelheid).
Verhoudingsdeling en verdelingsdeling
Bij een verhoudingsdeling kun je denken aan het volgende: Er zijn 12 snoepjes. Hoeveel groepjes van
4 snoepjes kan ik maken? Bij de verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde: 12
snoepjes : 4 snoepjes = …
Een verdelingsdeling is bijvoorbeeld: 3 kinderen verdelen 12 snoepjes. Hoeveel snoepjes krijgt elk
kind? Bij de verdelingsdeling representeren deeltal en deler elk iets anders: 12 snoepjes : 3 kinderen =
…
Merk op dat bij de verdelingsdeling het verhoudingsgewijs denken ene rol kan spelen. Het aantal
snoepjes per kind is feitelijk een externe verhouding.
Lineair verband
