Voorbereiding op je kennisbasistoets Rekenen.
Samenvatting ‘Rekenen en Wiskunde uitgelegd’.
Hoofdstuk 1: hele getallen
Talstelsel: systeem om hoeveelheden te noteren en om met getallen te kunnen rekenen.
o Turfsysteem: vier streepjes en er een doorheen (werken met kleine hoeveelheden).
o Symbolen van de Romeinen: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) en M (1000). Met de
abacus kon men er zelfs mee rekenen. Dit is een additief talstelsel.
- Als het tweede symbool even groot of kleiner is, tellen we de waarde op: XX (10+10),
XIII (10+3).
- Als het tweede symbool een grotere waarde heeft, betekent dit dat het kleinste getal
van het grootse moet worden afgetrokken: IX (10-1).
- Er is geen symbool voor nul.
Na het additief talstelsel, kwam het decimale positiestelsel. De waarde van het cijfer wordt bepaald
door het cijfer zelf én door de plek waar het cijfer in een getal staat. Cijfers zijn: 1, 2, 3 … 9 en getallen
zijn 13, 59 etc. Je kunt een positieschema maken bij het decimale tientallige stelsel bv: 3273:
Duizendtallen (10^3) Honderdtallen (10^2) Tientallen (10^1) Eenheden (10^0)
3 2( 7 3
3 0 8 9
In het getal 3089 zijn er geen honderdtallen, dan kun je die positie niet leeg laten. Er is in dit systeem
dus wel noodzaak voor een nul. Wij hanteren een tientallig stelsel (de basis is 10). 3273 is dus
hetzelfde als: 3 x 1000 + 2 x 100 + 7 x 10 + 3 x 1.
Je kunt op twee manieren getallen in beeld brengen:
o Materialen (MAB-materiaal/ multibase arithmetic blocks).
o Model: De getallenlijn.
Met behulp van de context Geld, kun je het positiestelsel/tientallige stelsel inzichtelijk maken.
De getallenlijn laat goed de plek van het getal op de lijn zien, maar ook de plek van een cijfer in een
getal; 16 is wat anders dan 61. Getallen plaatsen op een getallenlijn noem je positioneren.
Model: schematische weergave van de achterliggende bedoeling van een bewerking of opgave.
Bewerking: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen.
Context: betekenisvolle situatie gebaseerd op een wiskundig model. Bv. 3 erbij 4, de context kan zijn:
Guus heeft in haar spaarpot drie euro, zij krijgt vier euro zakgeld van haar oma, hoeveel heeft zij nu in
haar spaarpot?
Het leren van een leerling begint bij een context en komt via een model bij de formele opgave uit.
Bewerkingen zijn rekenkundige activiteiten die met getallen uitgevoerd kunnen worden. Alle
bewerkingen leiden naar een resultaat. Dit wordt aangegeven met het =-teken. Het =-teken wordt
soms over het hoofd gezien. Sommigen berekenen sommen met tussenoplossingen: 25 x 28 = 100 x
28 = 2800:4 = 700 dit is wiskundig niet correct. Wat wel correct is:
25x28=
100x28=
2800:4 = 700
Of
25x28= 25x4 x 28:4 = 100 x 28 : 4 = 700
Optellen: samenvoegen van twee of meer hoeveelheden: samen. De
cijfers of getallen die je optelt noem je termen. De uitkomst heet de
som.
Een model voor het rekenen tot honderd noem je het honderdveld.
Zie figuur 1. Een gedeeltelijk ingevuld honderdveld levert veel
mogelijkheden op om te leren en te oefenen.
Ook het lijnmodel kan gebruikt worden (getallenlijn). De denkstappen
worden in beeld gebracht. De lege getallenlijn verdient altijd de Figuur 1. Afbeelding honderdveld.
voorkeur boven het honderdveld.
Ook zijn er sommen waarbij het optellen niet direct opvalt: Een potlood
kost 1,-, een agenda kost 3,- en de rekenmachine kost 5,- euro. Hoeveel moet je betalen? Leerlingen
zullen dan gaan rijgen. Zij nemen eerst 1 euro en tellen daar 3 bij op. Dan hebben ze 4 euro en tellen
,daar 5 bij op. De oplossing kan bij optellen vaak gevonden worden door verder te tellen. Het
achterliggende model is vaak de getallenlijn.
8+7 is rekenkundig gezien hetzelfde als 7+8, maar de situatie of context kan bij beide sommen anders
zijn. Opa geeft jantje 8 euro en truus 7 euro. Jantje is blijer. Maar dit kun je ook omdraaien, dan is
truus blijer. Het feit blijft dat opa 15 euro verdeeld heeft.
Aftrekken: dit gaat niet altijd over het verschil tussen twee grootheden.
Aftrekgetal: getal waarvan wordt afgetrokken (10-5)
Aftrekker: het getal dat van het aftrekgetal afgetrokken wordt (10-5)
Verschil: de uitkomst (10-5=5)
Je kunt op vier manieren naar aftrekken kijken:
1. Splitsen.
Er is sprake van splitsen als er bij een hoeveelheid wordt gevraagd hoeveel er over blijft.
Bv. In een doos zitten 18 knikkers. Hoeveel blijven er over als je er 6 uithaalt?
2. Verminderen.
Het gaat om terugtellen.
Bv. Een dvd-speler kost 135 euro. Hij wordt 19 euro goedkoper. Wat is de nieuwe prijs?
3. Vergelijken.
Het gaat om het verschil tussen twee hoeveelheden. Wat is meer, wat is minder, hoeveel
meer, hoeveel minder. Hierbij hoort het model: de dubbele strook.
A
B
Je ziet nu dat het verschil tussen 10 en 7, 3 is. Want 10-7=3.
4. Inverse van optellen (het omgekeerde van optellen).
Er wordt gekeken naar hoeveel er nog bij moet om een bepaalde hoeveelheid te krijgen.
Bv. ik ben aan het sparen voor een fiets van 530 euro. Ik heb nu 375 euro, hoeveel geld moet
ik nog sparen? Je kunt hier goed de getallenlijn gebruiken.
Vermenigvuldigen:
De getallen die je gebruikt noem je factoren.
Vermenigvuldiger: eerste getal 6x7.
Vermenigvuldigtal: tweede getal 6x7.
Product: de uitkomst.
Er zijn twee betekenissen van vermenigvuldigen:
1. Herhaald optellen.
Wordt het meeste gebruikt. Je kunt de volgende modellen gebruiken: rechthoekmodel en
groepjesmodel.
Bv. Zes rijtjes van vier flesjes of 64 velden op een schaakbord (8x8).
2. Vermenigvuldigen met een factor.
Gaat om het verdubbelen, vergroten, halveren etc.
Bv. een hond loopt drie keer zo snel als een konijn. De hond loopt de afstand in twee minuten.
Hoelang doet het konijn er over (2x3).
Delen:
Deeltal : deler = quotiënt.
Er zijn drie betekenissen van delen:
1. Eerlijk verdelen en uitdelen.
Bv. we hebben 24 knikkers die we verdelen over 6 kinderen. (24:6).
2. Het inverse van vermenigvuldigen en opdelen.
Bv. maak bakjes van 6 appels uit een zak van 24 appels. Je haalt steeds per keer 6 appels uit
de zak. Terwijl bij het eerlijk verdelen/uitdelen ieder kind steeds 1 knikker krijgt. Er is dus een
verschil.
3. Ratio (verhouding).
Het gaat om het vergelijken van hoeveelheden.
Bv. Sophie verdient drie keer zoveel geld als Gijs.
,Bij handig rekenen wordt vaak gebruik gemaakt van de eigenschappen van de bewerkingen of
strategieën:
Eigenschap Voorbeeld Uitleg
Communicatieve eigenschap. 3 + 4 of 4 + 3 Bij optellen en
wisseleigenschap. 3 x 4 of 4 x 3 vermenigvuldigen.
Kan met stroken of getallenlijn
zichtbaar worden gemaakt
(optellen) en bij
vermenigvuldigen met het
rechthoekmodel.
Distributieve eigenschap. 1. 8 x (5 +7) = Combinatie van
Verdeel eigenschap (8 x 5) + (8 x 7) vermenigvuldigen en optellen.
2. 18 x 25 = Kan op veel manieren:
10 x25 + 8 x25 1. Traditionele manier.
132:12= 2. Splitsen.
120:12 + 12:12 3. Inverse.
3. (37x5,5)+(5,5x63) = 4. Om beter uit te komen.
100 x 5,5
4. 39x25=
36x25+3x25 óf
40x25-1x25
Associatieve eigenschap. (3+4) + 5 = Bij optellen en
Schakel eigenschap. 3 + (4+5) = vermenigvuldigen. Dit geeft aan
dat de volgorde van werken dus
Gaat om de volgorde. 29x25x4= niet uitmaakt.
4x25x29= Let op: deze eigenschap geldt
100x29 niet als optellen en
vermenigvuldigen allebei in een
opgave terugkomen.
Inverse eigenschap 24:3 = 8, dus 8 x 3 = 24 Combinatie van
vermenigvuldigen en delen.
Denk aan strip en vleksommen.
Compenseren 124 (-11) + 189(+11) = 113 + 200 Bij optellen en aftrekken.
En Als je bij de ene iets optelt, haal Bij transformeren worden
Transformeren je het er bij de andere af. aanpassingen direct verwerkt,
2876 (+13) – 387(+13) = 2889-400 bij compenseren wordt dit
Als je bij de ene iets optelt of achteraf gedaan.
aftrekt, gebeurt dat bij de Voorkeur gaat uit naar
andere ook. Dus + en + of – en transformeren. Compenseren
-. leidt tot veel fouten.
Denk aan: tribunesom.
Transformeren:
25+17= 30+12
Compenseren:
25+17=30+17-5
GEK (groter en kleiner) 48 x 75 = 12 x 300 Bij vermenigvuldigen.
Want: 48: 4 en 75 x 4. Ook wel: halveren en
verdubbelen.
GOK (groter óf kleiner) 336:12= 84:3 Bij delen.
Want 336:4 en 12:4 Sluit aan bij de visie dat delen
gaat om verhoudingen.
N.B. Het flexibel rekenen met behulp van de eigenschappen van de bewerkingen wordt ook wel de
varia-aanpak genoemd. Je hebt ook nog de splits- en rijgaanpak.
,Kenmerken van deelbaarheid:
Een getal is deelbaar door … als… Bewijs
2 Het eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8. Alle tienvouden zijn deelbaar
Ofwel: als het laatste getal door 2, er hoeft alleen gekeken
even is. te worden naar het laatste cijfer.
Bv. 74358
3 De som van alle losse cijfers Bv. 34.567=
moeten deelbaar zijn door 3. 3+4+5+6+7= 25
25/3 kan niet, dus is niet
deelbaar door 3.
Bv. 74.358=
7+4+3+5+8= 27
27/3=9, dus is deelbaar door 3.
4 De laatste twee cijfers van een Alle honderdvouden zijn
getal moeten deelbaar zijn door deelbaar 4, dus er hoeft alleen
4. maar gekeken te worden naar
de laatste 2 cijfers.
Bv. 2356
56/4=14, dus dit getal is
deelbaar door 4.
5 Als het laatste cijfer van een Alle tienvouden zijn deelbaar
getal een 0 of een 5 is. door 5, dus er hoeft alleen naar
het laatste cijfer gekeken te
worden.
6 Als het deelbaar is door 2 en 3. Bv. 1368 is deelbaar door 6
2: Als het laatste getal een want het laatste getal is een
even getal is (0,2,4,6,8) even getal (8), en 1+3+6+8= 18
3: Als de som van alle losse en 18/3=6. Dus dit getal is
cijfers deelbaar is door 3. deelbaar door 6.
7 Geen handige manier: gewoon
een staartdeling doen.
Of moeilijke manier: Bv. 364=
Het laatste cijfer van het getal 36-(2x4)=
wordt weggelaten, dit 28/7=4
weggelaten cijfer wordt
tweemaal van het overblijvende
getal afgehaald. Dat getal moet
deelbaar zijn door 7.
8 Als de laatste drie cijfers Alle duizendvouden zijn
deelbaar zijn door 8. deelbaar door 8, dus er hoeft
alleen maar naar de laatste drie
cijfers gekeken te worden.
9 Als de som van alle losse Bv. 47124
cijfers van een getal, deelbaar 4+7+1+2+4=18
zijn door 9. 18/9=2
Dit getal is dus deelbaar door 9.
10 Als het eindigt op een 0. Alle tienvouden zijn deelbaar
door 10.
Beknopt overzicht deelbaarheid:
Een getal is deelbaar door… Als..
2 Het getal eindigt op een even cijfer.
3 De som van alle losse cijfers, deelbaar is door 3.
4 De laatste twee cijfers van een getal, deelbaar zijn door 4.
5 Het getal eindigt op het cijfer: 0 of 5.
6 Als het laatste getal een even getal is en de som van alle losse
cijfers deelbaar is door 3.
7 Het laatste cijfer laat je weg, dit cijfer trek je twee keer van het
, overblijvende getal af (2x…), het getal dat overblijft moet
deelbaar zijn door 7.
8 Als de laatste drie getallen deelbaar zijn door 8.
9 Als de som van de cijfers deelbaar is door 9.
10 Als het eindigt op een 0.
Volgorde van bewerkingen:
1. Bewerkingen tussen haakjes.
2. Machtsverheffen en worteltrekken.
3. Vermenigvuldigen en delen (in de volgorde zoals het staat, kan dus zijn dat je eerst deelt en
dan vermenigvuldigt).
4. Optellen en aftrekken (in de volgorde zoals het staat).
Ezelsbruggetje: Hare Majesteit Wandelt de V&D Op en Af.
Cijferen is het uitrekenen van opgaven (ook wel: onder elkaar rekenen of schriftelijk rekenen). Dit doe
je als het handig rekenen (met de eigenschappen van bewerkingen) niet lukt.
Cijferend optellen:
Je hebt verschillende manieren om cijferend op te tellen. Dit kan op de kolomsgewijze manier en als
de traditionele algoritme. Kolomsgewijs optellen is gebaseerd op het splitsen van getallen, deze bij
elkaar optellen en dan weer samenvoegen. Ook wel de verdeeleigenschap genoemd.
Er worden vier manieren besproken:
A: De meest uitvoerige aanpak van het kolomsgewijze.
345 = 300 + 40 + 5
567 = 500 + 60 + 7
---------------------------------
800 + 100 + 12 = 912
B: Kolomsgewijs met verkorting.
345
567
----- +
800
100
12
------
912
Er wordt gewerkt van links naar rechts. Tussenuitkomsten worden opgeschreven.
C: Kolomsgewijs met verkorting.
345
567
----- +
12
100
800
------
912
Er wordt gewerkt van rechts naar links, om beter aan te sluiten bij het latere cijferen.
Tussenantwoorden blijven genoteerd.
D: Standaardalgoritme
11
234
567
-----+
912
