Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen.
Hoofdstuk 1: Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen.
Wiskundig gezien bestaat er een aantal overeenkomsten tussen de (sub) domeinen verhoudingen,
gebroken getallen en procenten. Zo kun je bij elk domein een relatief aspect onderscheiden (hierbij
snap je dat er overeenkomsten zijn binnen de domeinen), zijn kommagetallen decimale breuken en
kunnen breuken en procenten allebei een verhouding aangeven.
Aan de andere kant kennen de domeinen elk hun eigen gebruik en verschijningsvormen in de
realiteit. In het dagelijks leven gebruiken we verhoudingen, breuken en procenten door elkaar.
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen
(bijvoorbeeld er zijn 450 studenten).
Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet
direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt lezen. Bijvoorbeeld 1 op de 4 auto’s zijn grijs.
Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het onderscheid tussen absolute en
relatieve gegevens van groot belang. Zonder dit begrip kun je namelijk veel informatie uit de krant of
het nieuws niet goed begrijpen.
Om kinderen een greep te laten krijgen op dit cruciale onderscheid, is het nodig om absolute en
relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met elkaar in verband te brengen. Dat
kan bijvoorbeeld door middel van een strookmodel. Hierbij staan de absolute gegevens (getallen) en
de relatieve gegevens (procenten). Om te voorkomen dat kinderen de getallen en percentages door
elkaar halen, is het – vooral in het begin – verstandig om de benoemde getallen te noteren.
Rekenmethodes gebruiken verschillende verschijningsvormen om de domeinen inzichtelijk te maken
en de kinderen greep te geven op de domeinen.
Als kinderen het rekenen lastig blijven vinden, of als ze wel al goed zicht hebben op de domeinen,
blijft het handig om de sommen te visualiseren.
Breuken en kommagetallen zijn allebei gebroken getallen.
Breuken en kommagetallen kan je terug zien komen als een meetgetal. Breuken komen vaker voor in
het deel van een geheel.
Om het verschil in breuken en kommagetallen inzichtelijk te maken, kun je gebruikmaken van een
strookmodel of geld gebruiken voor kommagetallen.
Om 0,1 en 0,10 inzichtelijk te maken voor kinderen kan je ondermaten benoemen. Bijvoorbeeld 0,1
meter is 1 decimeter. 1/7 = een repeterende breuk. 1/7 is als kommagetal namelijk 0,142857142857.
142857 noemen we in dit getal het repetendum, hetgeen wat zich herhaalt.
Als je een repeterende kommagetal als breuk wilt schrijven, bijvoorbeeld 0,461538461538, dan zorg
je ervoor dat je het getal net zo vaak keer 10 doet als het repetendum lang is. je komt dan uit op
461538. Het is dan 1 000 000x zo veel. Van die 1 000 000 trek je 1 af. Je breuk wordt dan
461538/999999. Dit kan je vereenvoudigen naar 6/13.
Een breuk kan zowel een absolute getal als een operator zijn. als absoluut getal kan je de breuk op de
getallenlijn plaatsen. Een operator doet iets met het getal, hoeveelheid of prijs.
,Declaratieve kennis is parate feitenkennis. Dit moeten de kinderen snel kunnen toepassen.
Hoofdstuk 2: Verhoudingen
Verhoudingen komen we in het dagelijks leven onbewust erg vaak tegen. Denk aan vergelijken van
schoenen, waardoor je weet dat een paar schoenen bij een persoon horen bijvoorbeeld.
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Bijvoorbeeld het aantal jongens en meiden op de pabo. Een evenredig verband
betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot of klein wordt, dat het andere getal ook zoveel
keer zo groot of klein wordt.
Veel verhoudingen hebben betrekking tot een grootheid, zoals lengte, gewicht en inhoud.
Een schaal is ook in verhouding. We schrijven bij de schaalnotatie beide getallen in dezelfde
maateenheid. Een schaal als 20:1 betekent dat iets 20x zo groot is afgebeeld dan in werkelijkheid.
Denk aan een afbeelding van een insect.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op 100 gesteld. Bij niet-
gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn, zoals bij 2 op de 7 of 1 op 2 miljoen.
Niet-gestandaardiseerde verhoudingen zijn daardoor lastiger te vergelijken dan procenten.
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht te
trekken.
Verhoudingen worden over het algemeen aangegeven met getallen. Dit noem je dan kwantitatieve
verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in één of meer getallen. We spreken van kwalitatieve
verhoudingen als er geen getal aan te pas komt. Kwalitatieve verhoudingen worden uitgedrukt in
woorden (de schoenendoos is naar verhouding te groot). Een kwalitatieve verhouding is vaak een
meetkundig verband. Het onderscheid tussen kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen zegt dus
ook iets over hoe de verhouding wordt waargenomen en tot uitdrukking wordt gebracht.
Een verhouding kan betrekking hebben op grootheden, maar ook op andere zaken waar een getal
aan kan worden toegekend. Als een verhouding één grootheid of eenheid betreft, spreek je van een
interne verhouding. Bijvoorbeeld 1 op de 4 pabostudenten is een jongen, eenheid pabostudent. Een
externe verhouding betreft twee verschillende grootheden. Bijvoorbeeld prijs per gewicht en de
afgelegde afstand en de totale afstand.
Een verhoudingsdeling kan je zien dat je bijvoorbeeld 12 snoepjes hebt, en ieder kind 4 snoepjes wilt
geven. Over hoeveel kinderen kan ik dan de snoepjes verdelen? Bij een verdelingsdeling kijk ik naar
de 12 snoepjes en hoeveel snoepjes ik 3 kinderen zou kunnen geven. De uitkomst laat zien hoeveel
snoepjes elk kind krijgt.
Een lineair verband is een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft. Gaat
die grafiek door de oorsprong (het snijpunt van de horizontale en verticale as), dan is het verband een
evenredig verband ofwel een verhouding. Als je een auto zou huren met een per dag prijs, maar je
moet van te voren een borg betalen, dan is er is wel sprake van een lineair verband maar geen
verhouding.
Sommige verbanden zijn niet-evenredig en dus ook geen verhouding. Dat levert gemakkelijk
misopvattingen op. Het gaat hier om de verbanden tussen lengte, oppervlakte en inhoud. Als iets
twee keer zo groot wordt, betekent dat dat de lengte verdubbelt. Maar de oppervlakte wordt in twee
richtingen verdubbeld: zowel in de lengte als in de breedte. De oppervlakte wordt dus vier keer zo
, groot. De inhoud wordt in drie richtingen vergroot en wordt dus acht keer zo groot. Dit speelt ook
een rol bij landkaarten en werken met schaal.
Additieve betekenis staat voor het woordje ‘meer’, ‘keer’ past in een multiplicatieve context.
Je hebt tot slot ook nog verbanden die wel evenredig zijn maar toch geen verhouding zijn:
omgekeerde evenredige verbanden. Bijvoorbeeld het verband tussen snelheid en tijd.
De gulde snede is een verhouding die sinds de zeventiende eeuw staat voor een schoonheidsideaal:
de mooiste verhouding die er bestaat. De gulde snede wordt aangeduid door phi. De gulde snede van
één meter is 38,2 en 61,8.
De omtrek en de diameter van cirkels hebben een vaste verhouding (+/- 22:7). Als je de omtrek deelt
door de diameter, komt er altijd hetzelfde getal uit, de grootte maakt niet uit. Dit is pi: 3,1415926.
Zowel phi als pi worden als irrationele getallen gezien, het lijkt een kommagetal maar dat is het niet.
Om verhoudingen op de basisschool aan de orde te stellen, worden allerlei verschijningsvormen uit
de realiteit benut: vergroten en verkleinen, verhoudingsgetrouwe afbeeldingen en modellen, kaarten
op schaal. Verhoudingen komt in alle groepen aan de orde. In groep 1 tot en met 4 vooral informeel
en vanaf groep 5 steeds nadrukkelijker en formeler.
o Groep 1/2: kwalitatieve verhoudingen
o Groep 3: kwantificeren van verhoudingen
o Groep 4: eenvoudige contexten met vermenigvuldigen en delen
o Groep 5: complexere contexten en getallen
o Groep 6: formele verhoudingentaal
o Groep 7: relatie met breuken
o Groep 8: procenten
De ontwikkeling van begrip van verhoudingen start al bij de kleuters door bijvoorbeeld voorwerpen
van groot naar klein neer te leggen. Vervolgens wordt er gewerkt met plaatjes (olifant, mens, mug
bijvoorbeeld) zodat de kinderen de inzicht in verhouding verder kunnen ontwikkelen. Vanaf groep 4
komen de verhoudingen voor in verdeelsituaties. Hoeveel snoepjes kan ik verdelen. Vooroplopend op
het vermenigvuldigen. Verhoudingen worden alleen aangeboden in een betekenisvolle perspectief.
Verhoudingen worden tot en met groep 8 vooral in toepassingssituaties aangegeven. Dit wil niet
zeggen dat er sprake is van context gebonden handelen.
In de loop van basisschool komt schaal aan de orde. Hiervoor wordt naast een verhoudingstabel ook
de modellen dubbele getallenlijn, strook en schaallijn gebruikt. De getallen waarmee gewerkt wordt,
worden steeds complexer.
Formeel verhoudingsgewijs redeneren wordt ook toegepast bij rekenen met behulp van analogieën,
al wordt het in de reken-wiskundemethodes niet zo genoemd. Dit begint al in de onderbouw (3+2= 5,
300+200=500). De kleine som wordt gebruikt om grotere sommen op te lossen.
Veelgebruikte modellen bij verhoudingen zijn de dubbele getallenlijn, de verhoudingstabel en de
schaallijn.
Net als op de gewone getallenlijn, wordt de dubbele getallenlijn gebruikt om getallen op te ordenen
en te positioneren. Het verschil is dat op de dubbele getallenlijn het verband tussen twee zaken
zichtbaar wordt gemaakt. De dubbele getallenlijn is ook een denkmodel, het ondersteund het
denken.
