Rekenen
Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Hoofdstuk 1 – Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
Overeenkomsten tussen de domeinen verhoudingen, procenten breuken
en kommagetallen: bij ieder domein kun je een relatief aspect
onderscheiden, want zijn kommagetallen decimale breuken en kunnen
breuken en procenten allebei een verhouding aangeven.
Verschillen/aan de andere kant kennen domeinen elk hun eigen gebruik
en verschijningsvormen in de realiteit, zoals we bij geldbedragen gebruik
maken van bijvoorbeeld kommagetallen en geen breuken.
Absolute gegevens = getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of
aantallen verwijzen.
Relatieve gegevens = gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke
getal of aantal aan kunt aflezen.
Bij het strookmodel staan zowel de absolute gegevens als de relatieve
gegevens.
Overeenkomst tussen breuken en kommagetallen: het zijn allebei
gebroken getallen. Zowel breuken als kommagetallen kom je tegen als
meetgetallen.
Verschil: de notatie verschilt. Breuken komen vaker voor als deel van een
geheel en deel van een hoeveelheid, kommagetallen bijna nooit.
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een breuk
als absoluut getal kun je weergeven als een punt op de getallenlijn, net als
een heel getal. Een operator doet iets met het getal, hoeveelheid of prijs.
20/100 of 1/5 zijn absolute getallen en 20% is een operator.
Declaratieve kennis = parate feitenkennis, zoals de tafels
Productief oefenen = kinderen gaan zelf opgaven (en weetjes)
produceren
Hoofdstuk 2 - verhoudingen
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer
getalsmatige of meetkundige beschrijvingen. Een evenredig verband
betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein) wordt, het
andere getal (of de andere getallen) ook zoveel keer zo groot (of klein)
wordt. Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte,
gewicht en inhoud. Verhoudingen maken het mogelijk zaken met elkaar te
vergelijken.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is
op honderd gesteld.
,Niet-gestandaardiseerde verhoudingen zijn daardoor lastiger dan
procenten.
Kwantitatieve verhoudingen = de verhouding wordt uitgedrukt in een
of meer getallen. ‘Deze kaart heeft een schaal van 1 : 80 000’.
Bijvoorbeeld in groep 3, waarin dwergen en reuzen worden vergeleken: de
reus os even groot als vijf dwergen die op elkaar staan. Verhoudingen
worden zo gekwantificeerd: er wordt een getal aan toegekend. Daarmee
wordt het mogelijk om op termijn te redeneren en te rekenen met
kwantitatieve oftewel getalsmatige verhoudingen.
Kwalitatieve verhoudingen = als er geen getal aan te pas komt, zoals
bij een schoenendoos of ‘een kind is lang voor zijn leeftijd’. Een
Kwalitatieve verhouding is vaak een meetkundig verband en worden
uitgedrukt in woorden. Een meetkundige verhouding is altijd kwalitatief.
Zichtbare verschillen in grootte, afstand en dergelijke, waar nog geen
getal aan te pas hoeft te komen. Dit begint al bij kleuters.
Interne verhouding = als een verhouding één grootheid of eenheid
betreft. ‘1 op de 4 pabostudenten’. Het gaat hier om de ‘eenheid’
pabostudenten.
Externe verhouding = betreft twee verschillende grootheden,
voorbeelden hiervan zijn afgelegde afstand in een bepaalde tijd en prijs
per gewicht.
Verhoudingsdelen = als het gaat om de (interne) verhouding van het
deel ten opzichte van het geheel. Voorbeeld: er zijn 12 snoepjes. Hoeveel
groepjes van 4 snoepjes kan ik maken?
Verdelingsdelen = deeltal en deler representeren elk iets anders; de
uitkomst representeert het aantal snoepjes dat elk kind krijgt. Voorbeeld: 3
kinderen verdelen 12 snoepjes. Hoeveel snoepjes krijgt elk kind?
Het aantal snoepjes per kind is een externe verhouding
Lineair verband = verband tussen twee grootheden dat als grafiek een
rechte lijn heeft. Als de grafiek door de oorsprong gaat, dan is het
verband een evenredig verband ofwel een verhouding
Voorbeelden van niet-evenredige verbanden: exponentieel,
logaritmisch, logistisch of wortelfuncties
Omgekeerd evenredig verband = als iets 2x zo groot wordt, dan wordt
het andere 2x zo klein
Gulden snede = een verhouding die staat voor het schoonheidsideaal: de
mooiste verhouding die er bestaat. Een rechthoek waarvan de korte en de
lange zijde zich verhouden als de hulden snede, zou de mooist denkbare
rechthoek opleveren. Dit werd wel de ‘goddelijke verhouding’ genoemd.
Als je een lijnstuk zo in tweeën verdeelt dat de verhouding van het kleinste
deel ten opzichte van het grootste deel dezelfde is als de verhouding van
het grootste deel tot het hele lijnstuk, heb je de gulden snede te pakken.
Pi = als je de omtrek van een cirkel deelt door de diameter dan komt er pi
uit. Pi heeft oneindig aantal decimalen. Het zijn irrationale getallen en
worden daarom, ondanks dat er een komma in staat, niet als kommagetal
gezien.
Verhoudingen kunnen worden aangeduid met getallen en met woorden:
‘naar verhouding’ of ‘1 op de 4’, maar ook ‘60 procent van de mensen was
, tegen het voorstel’. De formele notatievorm met getallen is bijvoorbeeld
‘1 : 4’ of ‘1/4’ en ‘60% van’.
In de loop van groep 3 of 4 komen getalsmatige verhoudingen voor het
eerst aan de orde. Daarvoor gaat het om kwalitatieve vergelijking, zoals ‘ik
ben veel groter dan jij’. Pas in de bovenbouw wordt de formele notatie
geïntroduceerd, waarbij er bewust aandacht aan wordt besteed dat het
deelteken (:) er voor kinderen nu een betekenis bij krijgt.
In groep 1 tot en met 4 komt het domein verhoudingen informeel aan de
orde en vanaf groep 5 wordt dat steeds nadrukkelijker en formeler.
Al vanaf groep 4 komen verhoudingen impliciet aan bod bij allerlei eerlijk
verdeelsituaties die kunnen worden opgelost door te vermenigvuldigen:
als drie kinderen zes snoepjes krijgen, hoeveel snoepjes zijn er dan nodig
voor vier kinderen?
Verhoudingen worden alleen aangeboden in een betekenisvol
perspectief. Dit betekent dat toepassingssituaties met verhoudingen die
in het echte leven voorkomen als context worden gebruikt.
Verhoudingen worden tot en met groep 8 vooral in toepassingssituaties
aangeboden. Dat wil niet zeggen dat er sprake is van contextgebonden
handelen. Het verhoudingsgewijs redeneren en rekenen kan wel
degelijk formeel van aard zijn, ook als een leerling de
rekenstappen noteert in een verhoudingstabel. De getallen worden
steeds complexer: grotere getallen als breuken en kommagetallen komen
in de bovenbouw voor in verhoudingssituaties.
Formeel verhoudingsgewijs rekenen wordt ook toegepast bij rekenen met
behulp van analogieën. Dit gebeurt bijvoorbeeld zo in de onderbouw:
naar analogie van 3 plus 2 is 5, wordt 300 plus 200 is 500 afgeleid. Hier
wordt een andere maat gehanteerd: de oorspronkelijke maat is de
eenheid, de nieuwe maat is honderd.
Net als de gewone getallenlijn wordt de dubbele getallenlijn gebruikt
om getallen op te ordenen en te positioneren. Het verschil is dat op de
dubbele getallenlijn het verband tussen twee zaken zichtbaar wordt
gemaakt. Bijvoorbeeld tussen de grootheden tijd en afstand bij een
(constante) snelheid. De dubbele getallenlijn is een denkmodel: het
ondersteunt het denken doordat het zichtbaar is welke bewerking
moet worden uitgevoerd. Algemeen geformuleerd: op de dubbele
getallenlijn is de verhouding tussen twee grootheden zichtbaar,
waardoor te zien is dat wat bij de ene grootheid gebeurt, ook bij
de andere gebeurt. De dubbele getallenlijn kun je dus gebruiken om
greep te krijgen op het evenredige karakter van verhoudingen. Dit is een
groot verschil met de verhoudingstabel.
Bij de verhoudingstabel is de onderlinge afstand tussen de
getallenparen niet meer gepresenteerd door een afstand o peen stuk
getallenlijn. Deze stukken lijn zijn als het ware weggelaten en enkel de bij
elkaar horende getallenparen worden genoteerd. In groep 4 wordt er al
gewerkt met verhoudingstabellen. In een verhoudingstabel kunnen alle
basisbewerkingen worden gebruikt. In eerste instantie gaat het vooral om
vermenigvuldigen en optellen, maar dat wordt al snel uitgebreid met
