Alles was du zur Differenzialrechnung und Integralrechnung auf Abiturniveau wissen musst - einfach, verständlich und kurz! Inklusive Lösungsstrategien zu Textaufgaben.
Erstellt von einer Schülerin mit 1,0 Abiturschnitt.
Tangente & Normale
TANGENTE: Gerade, die mit Steigung (mt = f‘(x1)) einem Punkt P(x1/f(x1)) berührt
Tangentengleichung: Y = m * x + b → Y-Wert von P mit f(x) + Punkt + m (=f‘(x1)) einsetzten
Steigungswinkel (=Winkel Tangente mit x-Achse): |tan(α)= m | → m= f‘(x1)
−1
NORMALE: Gerade, die Tangente mit Steigung (mn = mt ) senkrecht schneidet
−1
Normalengleichung: Y = m * x + b → Punkt & m (=mt) einsetzten
, Grafisches Differenzieren/Ableiten
(Siehe Allgemeinanleitung bei „Graphisches Aufleiten“)
Regelmäßigkeiten, die gut zu wissen sind:
• 4.Grades wird zu→ 3. Grades wird zu→ 2.Grades → 1. Grades …
• Symmetrie abwechselnd (f(x) z.B. achsensymmetrisch
→ f‘(x) punktsymmetrisch→ f‘‘(x) z.B. achsensymmetrisch)
• NEW-Regel gibt Auskunft über markante Punkte
(S wäre in f‘(x) & f‘‘(x) doppelte N)
hier Nullstellen mit tatsächlichem VZW gemeint!
1. Markante Punkte auswählen → H/T/W/N
2. Tagentengleichung mit Steigungsdreieck an diesen Punkten einzeichnen & rechnen
3. Diese Y-Werte (hier f(x): x-Wert ; f‘(x): y-Wert) in neues KS für Ableitungskurve zeichnen
ODER wie auf der Abbildung rechts (gemäß NEW):
1. Skizzen machen
2. markante Punkte bei f(x) markieren und als gestrichelte Linien über restliche
Koordinatensysteme zeichnen
3. Laut NEW-Regel bei Markierungen richtigen neuen markanten Punkt als x bei f‘(x)
kennzeichnen
4. Verlauf rekonstruieren, indem bei f(x) untersuche, ob der Graph hoch (=+) oder runter
(=-) geht und somit weiß, dass in f‘(x) der Graph VOR dem markanten Punkt im positiven
oder negativen Y-Achsen-Bereich liegen muss
Monotonie
ohne Null = immer STRENG monoton…
Kurvenuntersuchung
1. Bedingung: f‘(x) = 0 → liefert xExtremstelle
2. Ermittlung H oder T:
1.Möglichkeit: 2. Möglichkeit:
Extrempunkte f‘(xlinks Extremstelle) = 0 & f‘(xrechts Extremstelle) = 0 f‘‘(x) berechnen & in diese Gleichung xExtremstelle
=Punkt mit max./min.
x-Wert
einsetzten
wenn von zu → HOCHPUNKT wenn → TIEFPUNKT
wenn von zu → TIEFPUNKT wenn → HOCHPUNKT
3. Koordinaten E: H oder T(xExtremstelle/ f(xExtremstelle)) → xExtremstelle in f(x) einsetzten für Y-Wert
f‘‘(x1)>0 f‘‘(x1)<0
Krümmung
lachen= traurig=
linksgekrümmt posItiv=lInks rechtsgekrümmt nEgativ=rEchts
(Lenkrad nach links) (Lenkrad nach rechts)
1. Bedingung: f‘‘(x) = 0 → liefert xWendestelle
1.Möglichkeit: 2.Möglichkeit:
f‘(xlinks Wendestelle) = 0 & f‘(xrechts Wendestelle) = 0 f‘‘‘(x) berechnen & in diese Gleichung
Wendepunkt xWendestelle einsetzten
=Punkt mit geringster m wenn VZW dort tatsächlich W wenn f‘‘‘(xWendestelle)≠0 dort tatsächlich W
3. Koordinaten W: W(xWendestelle/ f(xWendestelle)) → xWendestelle in f(x) einsetzten für Y-Wert
Wendetangente = Tangente in xWendestelle
W-Tangentengleichung: Y = m * x + b → Y-Wert von P mit f(x) + Punkt + m (=f‘(x1)) einsetzten
Sattelpunkt zusätzlich zu Wendepunktbedingungen (f‘‘(x) = 0; f‘‘‘(xWendestelle)≠0) auch noch f‘(xW)=0
= W mit waagrechter
Jeder Sattelpunkt = W, aber nicht jeder W ist Sattelpunkt!
Tangente
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