Ce document a pour but de vous faire comprendre l’intérêt :
- de conserver le bon nombre de chiffres significatifs dans le résultat d’un calcul
- d’exprimer les calculs en écriture littéral
1. Conserver que le nombre de chiffres significatifs dans le résultat d’un
calcul.
La question du nombre de chiffres significatifs peut être exprimée plus simplement :
« lorsque j’écris le résultat d’un calcul, à combien j’arrondis ? À la centaine, à la
dizaine, à l’unité, au dixième, au centième, au millième … ?»
En mathématiques, sciences exactes, le signe = ne s’utilise pas à la légère. Si vous êtes
contraints d’arrondir comme dans le calcul de 1/3 vous utiliserez le signe ≈ pour dire que
le résultat n’est pas exact et vous noterez un zéro et une virgule suivi du nombre de 3 que
vous jugerez suffisant (il existe sans doute une règle en maths qui préconise un nombre
de 3 à noter dans une telle situation mais si je l’ai connu un jour je l’ai oublié depuis
longtemps).
En physique, science expérimentale les valeurs utilisées sont issues de mesures.
Qui dit mesure dit instrument de mesure et donc incertitude. Une règle graduée par
exemple donne une incertitude d’un millimètre d’autres instruments de mesures peuvent
permettre de déterminer des longueurs avec des incertitudes plus faibles mais aucun ne
sera capable de vous donner une mesure absolument exacte avec une incertitude nulle.
Cela signifie-t-il que les physiciens s’interdisent d’utiliser le signe = pour n’utiliser que le
signe ≈ ? Non ! C’est même l’inverse ! Vous pouvez oublier le signe ≈ en physique et
n’utiliser que le signe = à condition de respecter la règle des chiffres significatifs.
Que dit cette règle ? C’est simple, la règle dit que :
« le résultat d’un calcul ne doit pas contenir plus de chiffres significatifs que la donnée
d’énoncé qui en contient le moins ».
Nous allons donner quelques exemples mais avant cela définissons une fois pour toute
comment déterminer le nombre de chiffres significatifs d’une valeur numérique. (je note
C.S. pour chiffres significatifs dans la suite du document)
Le meilleur moyen de définir le nombre de C.S. d’une valeur est d’écrire celle-ci au format
scientifique.
Pour rappelle, l’écriture scientifique d’un nombre consiste à utiliser les puissances
de 10 et à n’écrire qu’un seul nombre avant la virgule.
Quelques exemples :
1000 s’écrit 1,000 x 103 ; la valeur contient 4 chiffres significatifs : le 1 et chacun des 0
Remarque : contrairement aux mathématiques où les valeurs sont exactes et où 1,000 = 1 ; en physique les
valeurs font référence à des mesures et à ce titre elles ont été arrondies en fonction de l’incertitude de
l’instrument de mesure. Une mesure à la règle est arrondie au millimètre lorsqu’on indique une mesure de
3,5 cm il y a une incertitude « cachée » contenue dans cette valeur. L’incertitude est de ± 0,05 cm en effet,
que la mesure soit de 3,450 ou de 3,549 l’usage est d’arrondir à 3,5 cm.
Lorsqu’en physique on donne la mesure de 3,50 cm ce n’est pas du tout la même chose puisque dans ce 2nd
cas la mesure sera implicitement comprise entre 3,495 cm et 3,505 cm. Cela signifie surtout qu’on s’est
, donner la peine de mesurer avec un instrument « plus précis » qu’une règle graduée. Voilà pourquoi en
physique on dit que 3,5 n’est pas équivalent à 3,50.
0,00050 s’écrit 5,0 x 10-4 ; la valeur contient 2 chiffres significatifs : Le 5 et le zéro qui suit.
378 s’écrit 3,78 x 102 : 3 chiffres significatifs ; 12000 → 5 chiffres significatifs etc.
Quelques exemples de calculs dont le résultat est exprimé avec le nombre de C.S.
approprié :
Exemple 1 :
Calcul le nombre de moles d’aluminium dans un échantillon pur de masse mAl = 20 Kg
la masse molaire de l’aluminium est MAl = 27 g/mol
𝑚𝐴𝑙 20×10
3
−1
𝑛𝐴𝑙= 𝑀𝐴𝑙
= 27
= 7, 4 × 10 mol
2 C.S. dans chaque donnée, le résultat comporte donc 2 C.S.
Exemple 2 :
Ce 2e exemple permettra d’éviter une confusion entre donnée d’énoncé et facteur de
conversion.
Calcul de la vitesse d’un train qui parcourt 300 km en 56 min et 15 s.
Δt = 56,25 min (la conversion des secondes en minutes se fait par le calcul = 0,25)
d = 300 km
3
𝑑 300×10 2
𝑣= ∆𝑡
= 56,25 = 3, 20 × 10 km/h
60
Dans cet exemple la valeur du résultat est affichée avec 3 chiffres significatifs, en effet,
parmi les donnée d’énoncé 300 (3 C.S.) et 56min15s ou 56,25 min (4 C.S.) la valeur qui
comporte le moins de C.S. en comporte 3 donc le résultat doit en comporter 3 également.
Remarque : Dans ce 2e exemple certains peuvent se dire « oui, mais dans 60, il n’y a que 2 C.S. alors le
résultat devrait comporter 2 C.S. »
60 comporte bien 2 C.S. mais 60 n’est pas une donnée d’énoncé, c’est un facteur de conversion exacte.
Dans une minute il n’y a pas entre 59,5 et 60,49 s, il y en a 60 pile ! 60, suivi d’une infinité de zéros si on
préfère.
Même chose si dans un énoncé vous devez convertir un diamètre en rayon. Si le diamètre comporte 4
chiffres significatifs, il n’y aurait pas de sens à dire qu’on aura un rayon avec un seul C.S. sous prétexte que
l’on a divisé le diamètre par 2 et que 2 ne comporte qu’un C.S.
2 n’est pas une donnée d’énoncé, c’est un facteur de conversion exacte. Ce facteur est une relation
mathématique. Le diamètre ne vaut pas entre 1,5 et 2,4 fois le rayon il vaut 2 fois le rayon pile !
En arrondissant constamment le résultat des calculs, on pourrait après plusieurs calculs
successifs se retrouver avec un résultat final assez éloigné du résultat réel exemple :
On cherche à calculer la masse volumique du cuivre en sachant qu’on dispose de 8,69
mol de cuivre qui sont contenues dans une sphère de diamètre 4,9 cm. On donne la
masse molaire atomique du cuivre MCu = 63,55 g/mol
La masse volumique se calcule
- de conserver le bon nombre de chiffres significatifs dans le résultat d’un calcul
- d’exprimer les calculs en écriture littéral
1. Conserver que le nombre de chiffres significatifs dans le résultat d’un
calcul.
La question du nombre de chiffres significatifs peut être exprimée plus simplement :
« lorsque j’écris le résultat d’un calcul, à combien j’arrondis ? À la centaine, à la
dizaine, à l’unité, au dixième, au centième, au millième … ?»
En mathématiques, sciences exactes, le signe = ne s’utilise pas à la légère. Si vous êtes
contraints d’arrondir comme dans le calcul de 1/3 vous utiliserez le signe ≈ pour dire que
le résultat n’est pas exact et vous noterez un zéro et une virgule suivi du nombre de 3 que
vous jugerez suffisant (il existe sans doute une règle en maths qui préconise un nombre
de 3 à noter dans une telle situation mais si je l’ai connu un jour je l’ai oublié depuis
longtemps).
En physique, science expérimentale les valeurs utilisées sont issues de mesures.
Qui dit mesure dit instrument de mesure et donc incertitude. Une règle graduée par
exemple donne une incertitude d’un millimètre d’autres instruments de mesures peuvent
permettre de déterminer des longueurs avec des incertitudes plus faibles mais aucun ne
sera capable de vous donner une mesure absolument exacte avec une incertitude nulle.
Cela signifie-t-il que les physiciens s’interdisent d’utiliser le signe = pour n’utiliser que le
signe ≈ ? Non ! C’est même l’inverse ! Vous pouvez oublier le signe ≈ en physique et
n’utiliser que le signe = à condition de respecter la règle des chiffres significatifs.
Que dit cette règle ? C’est simple, la règle dit que :
« le résultat d’un calcul ne doit pas contenir plus de chiffres significatifs que la donnée
d’énoncé qui en contient le moins ».
Nous allons donner quelques exemples mais avant cela définissons une fois pour toute
comment déterminer le nombre de chiffres significatifs d’une valeur numérique. (je note
C.S. pour chiffres significatifs dans la suite du document)
Le meilleur moyen de définir le nombre de C.S. d’une valeur est d’écrire celle-ci au format
scientifique.
Pour rappelle, l’écriture scientifique d’un nombre consiste à utiliser les puissances
de 10 et à n’écrire qu’un seul nombre avant la virgule.
Quelques exemples :
1000 s’écrit 1,000 x 103 ; la valeur contient 4 chiffres significatifs : le 1 et chacun des 0
Remarque : contrairement aux mathématiques où les valeurs sont exactes et où 1,000 = 1 ; en physique les
valeurs font référence à des mesures et à ce titre elles ont été arrondies en fonction de l’incertitude de
l’instrument de mesure. Une mesure à la règle est arrondie au millimètre lorsqu’on indique une mesure de
3,5 cm il y a une incertitude « cachée » contenue dans cette valeur. L’incertitude est de ± 0,05 cm en effet,
que la mesure soit de 3,450 ou de 3,549 l’usage est d’arrondir à 3,5 cm.
Lorsqu’en physique on donne la mesure de 3,50 cm ce n’est pas du tout la même chose puisque dans ce 2nd
cas la mesure sera implicitement comprise entre 3,495 cm et 3,505 cm. Cela signifie surtout qu’on s’est
, donner la peine de mesurer avec un instrument « plus précis » qu’une règle graduée. Voilà pourquoi en
physique on dit que 3,5 n’est pas équivalent à 3,50.
0,00050 s’écrit 5,0 x 10-4 ; la valeur contient 2 chiffres significatifs : Le 5 et le zéro qui suit.
378 s’écrit 3,78 x 102 : 3 chiffres significatifs ; 12000 → 5 chiffres significatifs etc.
Quelques exemples de calculs dont le résultat est exprimé avec le nombre de C.S.
approprié :
Exemple 1 :
Calcul le nombre de moles d’aluminium dans un échantillon pur de masse mAl = 20 Kg
la masse molaire de l’aluminium est MAl = 27 g/mol
𝑚𝐴𝑙 20×10
3
−1
𝑛𝐴𝑙= 𝑀𝐴𝑙
= 27
= 7, 4 × 10 mol
2 C.S. dans chaque donnée, le résultat comporte donc 2 C.S.
Exemple 2 :
Ce 2e exemple permettra d’éviter une confusion entre donnée d’énoncé et facteur de
conversion.
Calcul de la vitesse d’un train qui parcourt 300 km en 56 min et 15 s.
Δt = 56,25 min (la conversion des secondes en minutes se fait par le calcul = 0,25)
d = 300 km
3
𝑑 300×10 2
𝑣= ∆𝑡
= 56,25 = 3, 20 × 10 km/h
60
Dans cet exemple la valeur du résultat est affichée avec 3 chiffres significatifs, en effet,
parmi les donnée d’énoncé 300 (3 C.S.) et 56min15s ou 56,25 min (4 C.S.) la valeur qui
comporte le moins de C.S. en comporte 3 donc le résultat doit en comporter 3 également.
Remarque : Dans ce 2e exemple certains peuvent se dire « oui, mais dans 60, il n’y a que 2 C.S. alors le
résultat devrait comporter 2 C.S. »
60 comporte bien 2 C.S. mais 60 n’est pas une donnée d’énoncé, c’est un facteur de conversion exacte.
Dans une minute il n’y a pas entre 59,5 et 60,49 s, il y en a 60 pile ! 60, suivi d’une infinité de zéros si on
préfère.
Même chose si dans un énoncé vous devez convertir un diamètre en rayon. Si le diamètre comporte 4
chiffres significatifs, il n’y aurait pas de sens à dire qu’on aura un rayon avec un seul C.S. sous prétexte que
l’on a divisé le diamètre par 2 et que 2 ne comporte qu’un C.S.
2 n’est pas une donnée d’énoncé, c’est un facteur de conversion exacte. Ce facteur est une relation
mathématique. Le diamètre ne vaut pas entre 1,5 et 2,4 fois le rayon il vaut 2 fois le rayon pile !
En arrondissant constamment le résultat des calculs, on pourrait après plusieurs calculs
successifs se retrouver avec un résultat final assez éloigné du résultat réel exemple :
On cherche à calculer la masse volumique du cuivre en sachant qu’on dispose de 8,69
mol de cuivre qui sont contenues dans une sphère de diamètre 4,9 cm. On donne la
masse molaire atomique du cuivre MCu = 63,55 g/mol
La masse volumique se calcule
