Apuntes Mates II

Matemáticas II.
2º Bachillerato.
Capítulo 6: Geometría
métrica en el espacio




www.apuntesmareaverde.org.es




Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Menéndez
Revisores: Milagros Latasa Asso y Luis Carlos Vidal Del Campo
Todas las imágenes han sido creadas por los
autores utilizando software libre (GeoGebra y GIMP)

,185 Geometría métrica en el espacio
Índice
1. ÁNGULOS EN EL ESPACIO
1.1. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
1.2. ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
1.3. ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS
1.4. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD Y POSICIONES RELATIVAS

2. PROYECCIONES ORTOGONALES
2.1. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA
2.2. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO
2.2. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO

3. PUNTOS SIMÉTRICOS
3.1. SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO PUNTO
3.2. SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA RECTA
3.3. SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UN PLANO
3.4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO

4. DISTANCIAS EN EL ESPACIO
4.1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
4.2. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
4.3. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
4.4. DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS
4.5. DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
4.6. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS


Resumen
En este último capítulo de geometría en dimensión tres vamos a ser
capaces de resolver problemas de cálculo de distancias, de ángulos,
de proyecciones… utilizando todo lo aprendido en los anteriores
capítulos de geometría.




2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 7: Geometría métrica en el espacio Autores: Leticia González y Álvaro Valdés
Revisores: Milagros Latasa Asso y Luis Carlos Vidal Del Campo
www.apuntesmareaverde.org.es Imágenes creadas por los autores

,186 Geometría métrica en el espacio
1. ÁNGULOS EN EL ESPACIO
1.1. Ángulo entre dos rectas
Sabemos que la dirección de una recta viene dada por su vector director. Con ello, podemos deducir:
El ángulo que forman dos rectas es el ángulo agudo determinado por los vectores directores de dichas
rectas.

Sean las rectas r y s, con vectores directores respectivos u y

v , tenemos:
   
u v u v
cos       r , s   arc cos  
u  v u  v


Actividad resuelta
Halla el ángulo determinado por las rectas
x  1  
 x3 z2
r : y  2  3  y s:  y 1  .
 5 1
z  2 
De las ecuaciones deducimos fácilmente que los vectores directores de r y s son, respectivamente:
 
u   1, 3, 2  y v  5, 1,  1
Por tanto:
 
u   1  3 2  2 2  14
2

  4 4
v  5 2  12   1  27   cos   
2

    14  27 378
u  v   1,3,2   5,1, 1  5  3  2  4  u  v   4  4

 4 
De aquí: r , s   arc cos    78º
 378 

1.2. Ángulo entre una recta y un plano
Al contrario que en el apartado anterior, la dirección del vector asociado al plano (su vector normal) es
perpendicular al propio plano. Por tanto, en este caso debemos razonar que:
El ángulo que forman una recta y un plano es el complementario del ángulo agudo que forman el
vector director de la recta y el vector normal del plano.


Sea la recta r, con vector director u y el plano , con

vector normal n , tenemos:
   
u n u n
cos       r ,    90 º  arc cos  
u  n u  n




2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 7: Geometría métrica en el espacio Autores: Leticia González y Álvaro Valdés
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, 187 Geometría métrica en el espacio
Actividad resuelta
x3 z 1
Halla el ángulo determinado por la recta r :  y4 y el plano  : 5 x  y  3 z  1  0 .
2 2
 
Sea u   2, 1, 2  un vector director de r y n  5,  1, 3  un vector normal de .
Tenemos:
 
u   2  12  2 2  9  3
2

  5 5
n  5 2   1  3 2  35   cos   
2

    3  35 3 35
u  n   2,1,2  5,1,3  10  1  6  5  u  n   5  5

 5 
De aquí: r ,   90º arc cos    90º 74º  16º
 3 35 
1.3. Ángulo entre dos planos
En este caso los dos vectores normales son perpendiculares a los respectivos planos, de modo que:
El ángulo formado por dos planos es el ángulo agudo determinado por los vectores normales de dichos
planos.

Sean los planos  y , con vectores normales
 
respectivos n y n, tenemos:
   
n  n n  n
cos       , '  arc cos  
n  n n  n


Actividad resuelta
Halla el ángulo formado por los planos
x  1    2 
 : 2x  y  z  4  0 
y   : y  2  2    .
z     2 

Sea n  2,  1, 1 un vector normal de  , y hallamos el vector normal de  con el producto vectorial de
sus vectores directores:
  
i j k
     
n  u  v  1  2  1  5 i  0 j  5 k
2 1 2
Calculamos:
|𝑛⃗| 2 1 1 √6
𝑛⃗ ′
5 0 5 5 ⋅ √2 ⇒
𝑛⃗ ⋅ 𝑛⃗ ′
2, 1, 1 ⋅ 5, 0, 5 10 0 5 15 ⇒ 𝑛⃗ ⋅ 𝑛⃗ ′ | 15| 15
15 3
cos   
6 5 2 2
√
Por lo tanto: 𝛼 𝜋, 𝜋 ′ arc cos 30º
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