Sistemas de Mando y Control
21 de diciembre de 2020
Práctica 1
Considérese la siguiente función de transferencia de alto orden:
2s3 — 4s2 − 6s + 20
H(s) =
s5 + 9s4 + 32s3 + 56s2 + 52s + 20
de la que se desea obtener aproximaciones de orden reducido, y comparar las bondades de las mismas.
1. Aproximaciones de Routh
El convergente de Routh, Rk(s), aproxima muy bien los valores grandes de s, sin embargo, los polos
más importantes, donde se encuentra la información más relevante, son los polos que se encuentran en las
proximidades del origen. Es por esta razón por la cual los convergentes serán de la función recı́proca de H (s),
que es Ĥ(s), esta función acerca los polos en el infinito y aleja los polos cercanos al cero.
La función de transferencia debe tener la siguiente forma:
b1sn−1 + b2sn−2 + ... + bn
Ĥ(s) = (1)
a0 sn + a1 sn−1 + ... + a n
Por tanto, la función recı́proca de H (s) será:
ˆ 1 1 20s3 − 6s2 − 4s + 2
H(s) = 2H = (2)
s s 20s5 + 52s4 + 56s3 + 32s2 + 9s + 1
1.1. Calcule la tabla A de Routh asociada a la transformada recı́proca de la
función de transferencia, ası́ como los coeficientes α correspondientes.
Se colocan los coeficientes del denominador de Ĥ(s) en las dos filas superiores de la tabla. Para obtener
los valores α, hacen falta los valores de la primera columna de la tabla A.
20 56 9 0
52 32 1 0
5 568 112
α̂1 = 13 13 13 0 0
Tabla A 169 1544
α̂2 = 142 71
1 0 0
5041 1275
α̂3 = 2509 193
0 0 0
297992
α̂4 = 90525 1 0 0 0
1275
α̂5 = 193 0 0 0 0
1
, 1 APROXIMACIONES DE ROUTH
1.2. Calcule la tabla B de Routh asociada a la transformada recı́proca de la
función de transferencia, ası́ como los coeficientes β correspondientes.
Los coeficientes del numerador de Ĥ(s) corresponden a las primeras filas de la tabla B. Los coeficientes β
se calculan con la primera columna de esta tabla, y para hallar estos valores es preciso combinar los elementos
de la tabla A con elementos de la tabla B.
20 -4 0 0
-6 2 0 0
5 −212 −5
β̂1 = 13 13 13
0 0
Tabla B
β̂2 = −39 226
0 0 0
284 71
ˆ3 =
β −3763 141
0 0 0
5018 386
ˆ4 =
β 43618
0 0 0 0
90525
1.3. Proporcione las aproximaciones de Routh, Rk(s) para k = 1, ... , 4.
Los convergentes de Routh se definen para cada valor k como muestra la ecuación (3):
Bk(s)
R (s) = (3)
k
Ak(s)
Previamente, es necesario calcular los numeradores Bk(s) y los denominadores Ak(s). Siguen las expresiones
(4) y (5). Para hacer estas recurrencias, suponemos A−1(s) = A0(s) = 1 y B−1(s) = B0(s) = 0:
Ak(s) = αksAk−1(s) + Ak−2(s) (4)
Bk(s) = αksBk−1(s) + Bk−2(s) + βk (5)
Se desarrolla la expresión para cada término en Matlab, dando estos resultados:
Â1 (s) = 0,3846s + 1 B̂1 (s) = 0,3846
2
Â2 (s) = 0,4577s + 1,19s + 1 B̂2 (s) = 0,4577s − 0,1373
3 2
Â3 (s) = 10,9197s + 2,391s + 2,394s + 1 B̂3 (s) = 0,9197s2 − 0,2759s − 0,3653
Â4 (s) = 3,027s4 + 7,871s3 + 8,338s2 + 4,482s + 1 B̂4 (s) = 3,027s3 − 0,9082s2 − 0,7447s + 0,3445
Estos numeradores y denominadores se introducen en la expresión (3) para los valores enteros k = 1, ..., 4,
dando como resultado:
0,3846 0,4577s − 0,1373
R̂1 (s) = R̂2 (s) =
0,3846s + 1 0,4577s2 + 1,19s + 1
ˆ 0,9197s2 − 0,2759s − 0,3653 ˆ 3,027s3 − 0,9082s2 − 0,7447s + 0,3445
R3(s) = R4(s) =
0,9197s3 + 2,391s2 + 2,394s + 1 3,027s4 + 7,871s3 + 8,338s2 + 4,482s + 1
2
