Resume
Samenvatting Wiskundige modellen (YI1371)
- Établissement
- Katholieke Universiteit Leuven (KU Leuven)
Volledige samenvatting geziene leerstof (campus de nayer)
[Montrer plus]
Aperçu du contenu
Wiskundige modellenHoofdstuk 1: Differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 2: Vectorfuncties
Hoofdstuk 3: Integralen
, Hoofdstuk 1: Differentiaalvergelijkingen
Differentiaalvergelijkingen: = een vgl. die een verband legt tussen een functie y(t) en haar afgeleiden. (t = tijd)
Vergelijking? = relatie tussen variabelen of een relatie tussen een veriabelen en zichzelf
2
bv. Parabool: y = ax + bx + c
Wet van Ohm: V(t) = I(t) R
Differentiaal? Zoals een afgeleide = verandering
bv. Positie, snelheid en versnelling
= relatie tussen een variabele en haar eigen verandering
bv. Luchtweerstand (Werkt je tegen)
Snelheidswijziging (zonder trappen bij het fietsen) (Min zorgt voor de afname
van de snelheid)
= feedback
Vormen van differentiaalvergelijkingen: manieren om een differentiaalvergelijking te beschrijven
1. Letterlijk: “verandering” als functie van de parameters
yʼ(x) = a(x) y(x) + b(x) (meestal gebruikt voor 1e orde)
Ex.: Geef een overzicht van alle types differentiaalvergelijkingen.
bv.
- Klassieke voorstelling van de vergelijkingen van orde 1
- Beginvoorwaarden maken de oplossing uniek (bv. Snelheid op moment 0)
Belang?
Differentiaalvergelijkingen die het gedrag van systemen beschrijven:
- In principe hebben deze systemen geen “keuze” in hun gedrag oplossing is meestal uniek
- startpositie/snelheid/situatie kan verschillen oplossing hangt af van “beginvoorwaarden” of
“randvoorwaarden”
Aantal rand/beginvoorwaarden = de orde van de vergelijking
Bv. Wet van Newton (F(t) =m x”(t)) → beginsnelheid & positie zijn nodig, begin-versnelling heeft geen invloed
Standaard vorm van lineaire differentiaalvergelijking van orde 1:
―> met 1 beginvoorwaarde heeft een unieke oplossing
yʼ(x) = a(x) y(x) + b(x), met y(x ) = c
2. Operator notatie:
3. Algemene vorm van een lineaire differentiaalvergelijking (2)
Lineaire diff. vgl. = een vgl. die een som is van termen,
eventueel vermenigvuldigd met een constante of andere functie.
a0 en a1 kunnen functies zijn, meestal zijn
dit getallen (= makkelijker oplosbaar)
,Oplossingsmethodes voor differentiaalvergelijkingen: hangt af van de vorm
1. Nakijken of een functie een oplossing is
2. Separabele vergelijkingen (orde 1)
NIET LINEAIR!
Nu wel een breuk
Veranderlijke apart schrijven
in
<
Niet maal 0 doen!
3. Algemene methode voor lineaire 1e orde probleem
Homogene vergelijkingen = een vgl. waarvan elke term y(x) bevat of haar afgeleiden.
:
bv. y”(x) - 2 yʼ(x) + 3 y(x) = 0
enkel functies met y(x)
Als y(x) de oplossing is, dan ook elk veelvoud “a y(x)”.
Gevolg: een homogene vergelijking heeft altijd y(x) = 0 als oplossing
Algemene methode, homogeen
Separabele vergelijking
Alle ʻyʼ links
Integraal
Cte a(x) dx
Exponent |y(x)| = e * e
H
= +- eCte
u
Algemene methode, particulier
Stap: 1. 2. 3. ―> “b(x) bestaat hier niet”
a, b en c kunnen verschillen,
andere oefening!
4. Operator methode voor homogene vergelijkingen (orde 2 en hoger)
5. Methode van de onbepaalde coëfficiënten (orde 2 en hoger)
Methode van de nulmakers
, Voorbeeld van de algemene methode:
HW: -x
✗ 2e
e y(x) + 2y(x) - 1 met lim y(x) = 1
✗ → 00
―> 1/2 + 1/2 e
2e orde vergelijkingen:
Algemene methode: Moet minstens 1 zijn anders niet van de 2e orde.
Az X
Stap 1: Homogene vergelijkingen met constante coëfficiënten:
= operator vorm.
Tussenstappen:
- (D - 1) y(x) = 0
P
↳ yʼ(x) - y(x) = 0 ―> yʼ(x) = y(x)
―> y(x) = A e
- (D + 3) y(x) = 0
:
yʼ(x) + 3y(x) = 0
D
Nodig om oefeningen te kunnen oplossen. 3✗
―> y(x) = B e
-
2 nulpunten dus 2 beginvoorwaarden.
Complex α +- βi :
(α + βi) x (α - βi) x
―> y(x) = A e +Be
EULER
αx αx
y(x) = A e cos(βx) + i A e sin(βx)
= Be
αx
cos(+ βx) + i B e
αx
sin(+ βx)
(A + B) e cos(βx) + (iA - iB) eαx sin(βx)
-
αx
-
C D
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur Studymotivation. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €8,99. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
52510 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans