Dit is de samenvatting van het achtste hoofdstuk van het vak Automaten en Berekenbaarheid. In deze samenvatting werd alle relevante informatie uit de slides alsook uit eigen notities opgenomen.
Eindresultaat: 16/20
Hoofdstuk 8: Eigenschappen van context-
vrije talen
1 Pompstelling voor context-vrije talen
Stelling:
Stel 𝐿 een oneindige CF taal. Dan bestaat er een positief natuur getal 𝑚 waarvoor geldt dat elke 𝑤 ∈
𝐿 met |𝑤| ≥ 𝑚 kan opgedeeld worden als 𝑤 = 𝑢𝑣𝑥𝑦𝑧 met |𝑣𝑥𝑦| ≤ 𝑚 en |𝑣𝑦| ≥ 1 zodat 𝑢𝑣 𝑖 𝑥𝑦 𝑖 𝑧 ∈
𝐿 voor 𝑖 ∈ ℕ+0.
Bewijs:
Voorbeeld:
Stel 𝐿 = {𝑎𝑛 𝑏 𝑛 𝑐 𝑛 : 𝑛 ≥ 0}
Stel L is wel CF en neem 𝑤 = 𝑎𝑚 𝑏 𝑚 𝑐 𝑚
• Nu kan 𝑣𝑥𝑦 niet en a’s, en b’s, en c’s bevatten. Dit betekent dat de opgepomte string niet
evenveel a’s als b’s als c’s zal hebben waardoor we een tegenspraak bekomen en kunnen
besluiten dat L niet context-vrij is.
1
, 2
2 Lineaire context-vrije talen
Definitie:
Een context-vrije taal L is lineair indien er een lineaire context-vrije grammatica G bestaat zodat L =
L(G).
• Een productieregel is lineair indien hij maximaal 1 variabele bevat (aan de rechterkant).
• Een grammatica is lineair indien deze enkel lineaire productieregels bevat.
Voorbeeld:
𝐿 = {𝑎𝑛 𝑏𝑛 : 𝑛 ≥ 0} is lineair want kan beschreven worden door
𝑆 → 𝑎𝑆𝑏
𝑆→𝜆
2.1 Pompstelling voor lineaire CF talen
Stelling:
Stel 𝐿 een oneindige CF taal. Dan bestaat er een positief natuur getal 𝑚 waarvoor geldt dat elke 𝑤 ∈
𝐿 met |𝑤| ≥ 𝑚 kan opgedeeld worden als 𝑤 = 𝑢𝑣𝑥𝑦𝑧 met |𝑢𝑣𝑥𝑦| ≤ 𝑚 en |𝑣𝑦| ≥ 1 zodat
𝑢𝑣 𝑖 𝑥𝑦 𝑖 𝑧 ∈ 𝐿 voor 𝑖 ∈ ℕ+
0.
Bewijs:
2
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