Fiche de révisions - Mathématiques - Niveau Terminale
Nombres complexes
Définition
Un nombre complexe est une expression de la forme z = a + bi, où a et b sont des nombres
réels et i est l’unité imaginaire, telle que i2 = −1.
Forme algébrique et forme trigonométrique
On peut écrire un nombre complexe z = a + bi sous deux formes différentes :
La forme algébrique : c’est la forme z = a + bi que nous avons vue précédemment.
La forme trigonométrique : on peut écrire z = r(cos θ + i sin θ), où r est le module
de z et θ est l’argument de z. On peut aussi écrire z = r cis θ, où cis est l’abréviation de
”cosinus et sinus”.
Opérations sur les nombres complexes
On peut effectuer les opérations suivantes sur les nombres complexes :
L’addition : pour ajouter deux nombres complexes z1 = a1 + b1 i et z2 = a2 + b2 i, on
utilise la formule suivante :
z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i
La soustraction : pour soustraire deux nombres complexes z1 = a1 + b1 i et z2 = a2 + b2 i,
on utilise la formule suivante :
z1 − z2 = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i
La multiplication : pour multiplier deux nombres complexes z1 = a1 +b1 i et z2 = a2 +b2 i,
on utilise la formule suivante :
z1 · z2 = (a1 · a2 − b1 · b2 ) + (a1 · b2 + a2 · b1 )i
La division : pour diviser deux nombres complexes z1 = a1 + b1 i et z2 = a2 + b2 i, on
utilise la formule suivante :
z1 a1 · a2 + b 1 · b 2 b 1 · a2 − a1 · b 2
= + i
z2 a22 + b22 a22 + b22
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Nombres complexes
Définition
Un nombre complexe est une expression de la forme z = a + bi, où a et b sont des nombres
réels et i est l’unité imaginaire, telle que i2 = −1.
Forme algébrique et forme trigonométrique
On peut écrire un nombre complexe z = a + bi sous deux formes différentes :
La forme algébrique : c’est la forme z = a + bi que nous avons vue précédemment.
La forme trigonométrique : on peut écrire z = r(cos θ + i sin θ), où r est le module
de z et θ est l’argument de z. On peut aussi écrire z = r cis θ, où cis est l’abréviation de
”cosinus et sinus”.
Opérations sur les nombres complexes
On peut effectuer les opérations suivantes sur les nombres complexes :
L’addition : pour ajouter deux nombres complexes z1 = a1 + b1 i et z2 = a2 + b2 i, on
utilise la formule suivante :
z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i
La soustraction : pour soustraire deux nombres complexes z1 = a1 + b1 i et z2 = a2 + b2 i,
on utilise la formule suivante :
z1 − z2 = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i
La multiplication : pour multiplier deux nombres complexes z1 = a1 +b1 i et z2 = a2 +b2 i,
on utilise la formule suivante :
z1 · z2 = (a1 · a2 − b1 · b2 ) + (a1 · b2 + a2 · b1 )i
La division : pour diviser deux nombres complexes z1 = a1 + b1 i et z2 = a2 + b2 i, on
utilise la formule suivante :
z1 a1 · a2 + b 1 · b 2 b 1 · a2 − a1 · b 2
= + i
z2 a22 + b22 a22 + b22
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