Resume
Samenvatting Statistiek I (semester 2)
- Cours
- Statistiek I
- Établissement
- Universiteit Antwerpen (UA)
Samenvatting van statistiek I, lessen semester 2 2023.
[Montrer plus]
Aperçu du contenu
StatistiekKansberekening
Basisbegrippen
Belang:
- Probalistische ingestelde wereld begrijpen
➢ Verzekering, vergoedingen, ...
- Uitspraken doen over de populatie over een populatie op basis van een steekproef
Beschrijvende statistiek = beschrijven van gegevens m.b.v. tabellen, grafieken en kengetallen
Semester 1
Inferentiële statistiek = op basis van gegevens uitspraken doen over populatie
Semester 2
Symbolen uit verzamelingenleer
- Verzameling = geheel van objecten, voldoen aan bepaalde voorwaarden
➢ A = {1, 2}
- Unie van twee verzamelingen A en B = alle elementen die in A of B zitten
➢ A ꓴ B → A = {1,2} en B = {oneven} → {1, 2, oneven}
- Doorsnede van twee verzamelingen A en B = alle elementen die in A en B zitten
➢ A ꓵ B → A = {1,2} en B = {oneven} → {1}
- A = deelverzameling van B wanneer ze een deel van de elementen van B bevat
➢ A ⊂ B → A = {1,2} en B = {1,2,3,4}
- Disjuncte verzameling = verzamelingen die geen gemeenschappelijke elementen bevatten
➢ A ∩ B = ∅ → A = {1} en B = {2, 4, 6}
- Verschil van twee verzameling A en B = verzameling van alle elementen van A die niet in B
➢ A \ B → A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} en B = {2, 4, 6} → A \ B = {1,3,5}
Stochastisch proces = onzekere uitkomst
- = kansexperiment deterministische proces
- Vb. dobbelsteen, betrokkenheid bij ongeval, ...
- (groep van) uitkomsten van dit proces = toevalsgebeuren
➢ Elementair = bevat 1 uitkomst (vb. 1 gooien)
➢ Samengesteld = betrekking op meerdere uitkomsten (vb. even gooien)
➢ Uitkomstenruimte (S) = verzameling alle mogelijke elementaire uitkomsten
Toevalsgebeuren A = deelverzameling uit de uitkomstenruimte S
- Elementaire toevalsgebeuren = disjunct (geen overlap)
- Uitkomstenruimte S = exhaustief (alle mogelijke gebeurtenissen)
- Complement van toevalsgebeuren A = alle elementaire toevalsgebeurens in S → niet gelijk aan A
➢ Ac = S \ A → A = {1}, dan 𝐴c = {2, 3, 4, 5, 6}
Machtsverzameling M(S) = verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van S
- S = {1, 2, 3} → deelverzamelingen: ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}
- M(S)={Ø,{1},{2},{3},{1,2}, {2, 3}, {1,3}, {1,2,3}}
- #S = n ➔ #M(S) = 2n
,Kansdefinitie
Een kans P(G) = waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis G zal optreden, uitgedrukt in een getal tussen 0 en 1
- P = probability = functie die met elke gebeurtenis G een reëel getal associeert
4 kansdefinities:
1. Subjectieve kansdefinitie = gokkans
➢ Gebaseerd op ervaring, vaag, ...
➢ Vb. kans om lotto te winnen = klein, kans om ongeval te hebben in vliegtuig = groot
2. Empirische kansdefinitie = zweetkans
➢ Waarden bekijken aan de hand van ‘uit proberen’
➢ Vb. dobbelsteen gooien → kans om 2 te gooien vergoot hoe vaker men gooit
➢ 𝑃 (𝐴) = lim 𝑛→∞ (fi / 𝑛) → als je oneidig gooit = limietwaarde = empirische kans
➢ Wet van de grote getallen
3. Theoretische kansdefinitie van Laplace = weetkans
➢ P(A) = #gunstige / #mogelijke = #A / #S
➢ Veronderstelling = alle uitkomsten zijn even plausibel
➢ Oefeningen:
• Vb. kans om 2 te gooien bij EERLIJKE dobbelsteen = 1/6
• Vb. kans om minstens 5 te gooien = 2/6 = 1/3
• Vb. kans om 12 te gooien met 2 dobbelstenen = 1/36 (1/6 * 1/6)
De reële functie P moet voldoen aan 3 axioma’s
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(S) = 1
3. Als A en B disjuncte gebeurtenissen zijn (A ∩ B = ø): P (A U B) = P(A) + P(B)
Rekenregels kansrekening
Complementregel
Vb. De kans dat je geen 6 gooit
- Lange manier: kans van 1 + kans van 2 + kans van 3 + kans van 4 + kans van 5
- Korte manier: 1 – kans van 6
Complementregel: P(Ac) = 1 – P(A)
Somregel
Vb. (1) de kans dat iemand 5 of 6 zal gooien
1. A en B ≠ disjunct
➢ Individuele kansen optellen
➢ Vertrekken van totale kansen: P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
2. A en B = disjunct → P (A U B) = P(A) + P(B)
Vb. 6 koks en 8 obers → 4 vrouwelijke obers en 1 vrouwelijke kok ➔ kans dat het een kok is OF een vrouw
- 6/14 + 5/14 – 1/14 = 10/14
,Productregel
Vb. kans dat je 3 gooit EN daarna kop met een muntje
1. Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B)= P(A) * P(B)
2. Afhankelijke gebeurtenissen
➢ Individuele kansen bekijken
➢ Vertrekken van totale kansen: P(A ∩ B) = P(A|B).P(B) OF = P(B|A).P(A)
De voorwaardelijke kans P(A|B) = de kans op A, als B
- Kans voor specifieke subgroep
- Voorwaardelijke kans = a posteriori kans ( a priori = algemene kans)
≠ doorsnede ( A EN B A ALS B)
Regel voorwaardelijke kans
Herleiding vanuit productregel
- P(A|B) = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 / 𝑃(𝐵)
- P(B|A) = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 / 𝑃(𝐴)
Overzicht rekenregels
Vervolg axiomatische kansregels
Overzicht rekenregels:
- Complementregel = P(𝐴) = 1 - P(A) [uitsluiten]
- Somregel = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) [OF]
➢ Speciaal geval: A en B = disjunct: P(A U B)= P(A) + P(B)
- Productregel = P(A ∩ B) = P(A|B).P(B) = P(B|A).P(A) [EN]
➢ Speciaal geval: A en B = onafhankelijk: P(A ∩ B) = P(A).P(B)
➢ | = als → voorwaardelijk → A als B
Regel voorwaardelijke kans
P(A|B) = (𝑃 𝐴 ∩ 𝐵) / 𝑃(𝐵)
Afleiding van productregel
P(B|A) = (𝑃 𝐴 ∩ 𝐵) / 𝑃(𝐴)
Regel totale kans
Regel totale kans bij dichotome variabele B: P(A) = P(A|B) . P(B) + P(A|BC ) . P(BC )
Oefening: 60% gehuwd (3x man) + 25% alleenstaand (3x man) + 15% samenwonend (3x vrouw)
, Regel van Bayes
Causaliteit omkeren: P(A|B) berekenen op basis van P(B|A)
voorwaardelijke kans
productregel
regel van de totale kans
oefening: P(G|M) = ?
- = P(M|G) * P(G) / P(M)
- = 3/4 * 3/5 / P(M|G).P(G) + P(M|A).P(A) + P(M|Sa).P(Sa)
- = (3/4 * 3/5) / (54/80)
- = 2/3
Overzicht nieuwe rekenregels
Driedeurenprobleem
Verlies verlies Winst
1e scenario = kiezen voor winst → tonen een verlies → wisselen van keuze = verlies
2e scenario = kiezen voor verlies 1 → tonen verlies 2 → wisselen van keuze = winst
3e scenario = kiezen voor verlies 2 → tonen verlies 1 → wisselen van keuze = winst
Wisselen van keuze > blijven bij keuze
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur nikavandenbergh. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €6,49. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
72001 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans