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Calcul Matriciel - Chapitre 2 - L2S4
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Calcul Matriciel - Chapitre 2 - L2S4par:
JulienB
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- Chapitre 2 -
Les matrices carrées
Table des matières
1 Produit et puissance des matrices carrées 2
1.1 Puissances d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 La formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Les matrices carrées inversibles 4
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Recherche pratique de la matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Propriétés des matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
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1 Produit et puissance des matrices carrées
Nous avons défini le produit de deux matrices dans le chapitre précédent.
Dans ce paragraphe nous allons nous intéresser au produit de deux matrices carrées d’ordre n.
Il est clair que le produit de deux matrices d’ordre n sera une matrice d’ordre n : on dit que la
multiplication matricielle est une loi interne dans l’ensemble Mn (R).
Proposition 1 Nous avons les propriétés suivantes :
– ∀M, N, P ∈ Mn (R) on a : M.(N.P ) = (M.N ).P (associativité de la multiplication matricielle) ;
– ∀M, N, P ∈ Mn (R) on a : M.(N + P ) = (M.N ) + (M.P ) (la multiplication est distributive par
rapport à l’addition) ;
– ∀M ∈ Mn (R) on a : M.In = In .M = M (la matrice unité In est élément neutre pour la
multiplication matricielle).
Preuve. Ces résultats ont été vus dans le chapitre précédent.
Remarque 1 Il faut bien noter que la multiplication matricielle n’est pas commutative : cela
signifie que si M et N sont deux éléments de Mn (R) alors en général, M.N 6= N.M .
2 1 −1 1
Par exemple, si : M = et N = , on a :
−1 0 1 0
1 1 −1 −3
M.N = et N.M = donc M.N 6= N.M .
−1 0 1 2
Définition 1 Soient M et N deux matrices carrées d’ordre n.
On dit que M et N commutent si M N = N M .
Exemple 1 Si M ∈ Mn et λ ∈ R, on a alors (λIn )M = λ(In M ) = λM et M (λIn ) = λ(M In ) = λM
donc la matrice λIn commute avec toute matrice de Mn .
1.1 Puissances d’une matrice carrée
Définition 2 Considérons une matrice M d’ordre n.
Soit p un nombre entier
naturel ; la puissance pème de la matrice M , que l’on notera M p sera définie
0
M = In
par récurrence par : .
M p+1 = M.M p pour tout entier naturel p
1 2 −1
Exemple 2 Considérons la matrice : M = 4 0 1 ∈ M3 (R).
−1 1 1
1 0 0 1 2 −1
On a : M 0 = I3 = 0 1 0 ; M1 = M = 4 0 1 ;
0 0 1 −1 1 1
8 3 4 16 20 15
M 2 = M.M = 3 9 5 ; M 3 = M.M 2 = 34 11 17 ...
2 −1 1 −3 5 2
Remarque 2 ATTENTION :
La multiplcation matricielle n’étant pas commutative,on ne peut pas utiliser les identités remarquables.
En effet, (M + N )2 = M 2 + M N + N M + N 2 mais, comme M N 6= N M , on ne peut pas regrouper les
termes centraux ! !
Théorème 1 ∀M ∈ Mn (R), ∀p ∈ N on a :
p
i) (t M ) = t (M p ).
p
ii) (λM ) = λp .M p , ∀λ ∈ R
2
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