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Notes de cours mathématique (PNFM1A1)

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Cours
Mathématique (PNFM1A1)

Établissement
Toulouse III - Université Paul Sabatier

vous retrouverez des exercices de TD et TP de mathématiques. des cours et aussi des fiches résumées

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Aperçu 4 sur 62 pages

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Publié le 13 septembre 2021
Nombre de pages 62
Écrit en 2020/2021
Type Notes de cours
Professeur(s) Loizelet
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“un
unematch
Le butqui
Letarte
but de aura
de lieu est
ce cours
ce cours à Barcelone
caramel-chocolat.
est de se
de Dans
se ou
donner
donner àun
Toulouse”
ce cours,
un langage
langage ne se déroulera
nous rigoureux
présentons
rigoureux pour
pour pas aux
un écrire
vocabulaire
écrire deux endroits
précis à Nous
la fois.
qui permet
des mathématiques.
des mathématiques. Nous deMais elle
démontrer
souhaitons
souhaitons
peut aussi ne
éviter les pas
rigoureusement.
éviter les l’être : que
ambiguïtés
ambiguïtés si vous
que la cherchez
la langue
langue un “gateau
française
française peut au caramel
peut contenir.
contenir. ou au chocolat”,
La conjonction
La conjonction ce serait
“ou” peut
“ou” peut dommage
par exemple
par exemple êtrede
être refuser
exclusive
exclusive
une tarte
“un caramel-chocolat.
match qui aura lieu àDans ce
Barcelone cours,
ou à nous présentons
Toulouse” ne se un vocabulaire
déroulera pas aux précis
deux qui permet
endroits
“un match qui aura lieu à Barcelone ou à Toulouse” ne se déroulera pas aux deux endroits à la fois. Mais elle à la de
fois.démontrer
Mais elle
peut aussi
rigoureusement. ne pas l’être : si vous cherchez un “gateau au caramel ou au chocolat”, ce serait dommage
peut aussi ne pas l’être : si vous cherchez un “gateau au caramel ou au chocolat”, ce serait dommage de refuser de refuser
1.1. Logique
une tarte caramel-chocolat.
une tarte caramel-chocolat. Dans
Dans ce
ce cours,
cours, nous
nous présentons
présentons un
un vocabulaire
vocabulaire précis
précis qui
qui permet
permet de
de démontrer
démontrer
Unerigoureusement.
démonstration mathématique est composée d’assertions (ou propositions logiques) que l’on relie au moyen
rigoureusement.
1.1. Logique
CM 1une
de connecteurs logiques. Démontrer : LANGUAGE MATHÉMATIQUE
assertion revient à montrer qu’elle est vraie.
Une démonstration
1.1. Logique mathématique est composée d’assertions (ou propositions logiques) que l’on relie au moyen
1.1. Définition
Logique 1
de connecteurs logiques. Démontrer une assertion revient à montrer qu’elle est vraie.
Une démonstration mathématique
Une démonstration mathématique est
est composée
composée d’assertions
d’assertions (ou
(ou propositions
propositions logiques) que l’on
logiques) que l’on relie
relie au
au moyen
moyen
Une assertion
Définition
de est un énoncé
1 logiques.
connecteurs logiques. (queune
Démontrer l’onassertion
peut comprendre sans ambiguïté)
revient àà montrer
montrer est dont
qu’elle est vraie.on peut connaître la valeur
de connecteurs
1- Logique Démontrer une assertion revient qu’elle vraie.
de vérité : vrai (V), faux (F). Une assertion est complète si elle ne dépend pas de variables libres.
Définition
Une assertion 1 un énoncé (que l’on peut comprendre sans ambiguïté) dont on peut connaître la valeur
Définition est
1
de vérité : vrai (V), faux (F). Une assertion est complète si elle ne dépend pas de variables libres.
Une assertion est un énoncé (que
(que l’on
l’on peut
peut comprendre
comprendre sans
sans ambiguïté)
ambiguïté) dont
dont on
on peut
peut connaître
connaître lala valeur
valeur
Exemple 1
de vérité : vrai (V), faux (F). Une
Une assertion
assertion est
est complète
complète sisi elle
elle ne
ne dépend
dépend pas
pas de
de variables
variables libres.
libres.
– “Elle
Exemple 1 est douée”, “1 + 1 = 2”, “il existe un nombre pair” et “P (x) : x2 > 9” sont des assertions mais “il
fait il beau est joyeux” et “Attention !” ne sont pas des assertions,
– Exemple 1
“Elle est douée”, “1 + 1 = 2”, “il existe un nombre pair” et “P (x) : x2 > 9” sont des assertions mais “il
– “1 + 1 = 2” et “il existe un nombre pair” sont des assertions complètes,
fait
– il“Elle
beau est joyeux” et1 “Attention
“il !” ne
existe unsont pas pair”
nombre des
pair”assertions,
et “P
“P(x) > 9”
:: xx22 > sont des assertions
assertions mais “il de
– “Elle estestdouée”
douée”, et“1“P+(x) x2 “il
2”,
=: 2”, > existe
9” ne un
sontnombre
pas des et (x)complètes.
assertions 9” sont des
L’assertion P (x)mais “il
dépend
– “1 + fait et “ilestexiste
1 =il2”beau joyeux”un nombre
et pair”
“Attention
“Attention !”
!” sont
ne
ne des
sont
sont assertions
pas
pas des
des complètes,
assertions,
assertions,
la variable libre x. Il faut 2donner une valeur à x pour pouvoir donner une valeur de vérité à P (x).
– “Elle
– “1 est
+ douée”
1 = 2” et et “il (x) : xun >
“Pexiste 9” ne pair”
nombre
nombre sont
pair” pas
sontdes
sont desassertions
des assertions complètes.
assertions complètes, L’assertion P (x) dépend de
complètes,
la –variable
“Elle estlibre
douée”x. Iletfaut donner
“P (x) >une
: x22 > valeur
ne
9” ne
9” sont àpas
sont pas pour pouvoir complètes.
des assertions
x des assertions donner
complètes. uneL’assertion
valeur de PP
L’assertion vérité à P (x).
dépend
(x) dépend
(x) dede
Nous relionsla ensuite
variabledeslibreassertions
x. Il faut àdonner
l’aideune
donner de connecteurs
une pourlogiques.
valeur àà xx pour
valeur Soientune
pouvoir donner
pouvoir donner une et Q deux
P valeur
valeur assertions.
de vérité
de vérité àà PP(x).
(x).
Nous relions ensuite des assertions à l’aide de connecteurs logiques. Soient P et Q deux assertions.
La Nous
conjonction “et” des assertions à l’aide
relions ensuite l’aide de
de connecteurs
connecteurs logiques. Soient PP et
logiques. Soient et Q deux assertions.
QPdeux assertions.
V F V F
La L’assertion
conjonction “P “et”
et Q” est vraie si P est vraie et Q est vraie. Elle est
P
Q V V F F
V F V F
fausse sinon. On résume
La conjonction “et” ceci par la table de vérité ci-contre. PP et QVV VFF FVV FFF F
L’assertion “P et Q” est vraie si P est vraie et Q est vraie. Elle est Q V V F F
L’assertion “P et
fausse sinon. On résume est vraie
Q” ceci par la est vraie
si Ptable
est vraie et Q
et
de vérité est vraie.
est vraie. Elle
Qci-contre. Elle est
est QQ VV VV FF FF
Exemple 2 On résume ceci par la table
fausse sinon. table de
de vérité
vérité ci-contre.
ci-contre.
P et Q V F F F
Q VV
et Q
PP et FF FF FF
Exemple
valeur2de 2vérité de l’assertion : “N ⇢ Z et 2 > 1” est V (vraie).
La Exemple
La valeur de vérité de l’assertion : “N ⇢ Z et 2 > 1” est V (vraie). 3
La valeur de vérité de l’assertion :: “N ⇢Z
“N ⇢ et 22 >
Z et > 1”
1” est
est V
V (vraie).
(vraie).
La disjonction “ou” P V F V F
La L’assertion
disjonction “P
La disjonction “ou”ou
“ou” Q” est vraie si l’une des assertions P ou Q est P Q VV VFF V V FF F3
Remarque 1 fausse PP V F VV FF
vraie. Elle“P
L’assertion est sinon. Onsi obtient la table de vérité ci-contre. ou QVV VVV VFF V F
L’assertion ou“P Q”ou est vraie
Q” est vraie l’une des
si l’une
l’une assertions
des
des assertions
assertions P PPouou
ouQQQest
est
est PQ
QQ V V F FFF
vraie.–vraie.
Elle est fausse sinon. On Onobtient la 3
CommeElle est
dit fausse
dans sinon. obtient
l’introduction, le table
obtient la
“ou” dede
la table
dans
table vérité
de vérité
le ci-contre.
ci-contre.
langage
vérité mathématique P
ci-contre. PP ou
estou V
inclusif.
ou Q V
Q V V V
V VVV FFF
Remarque 1
– On a utilisé une phrase en français contenant les mots “et” et “ou” pour définir les connecteurs logiques
– “et”
Comme dit dans
et “ou”. l’introduction,
On évite ce problème le en
“ou”prenant
dans leleslangage
tables mathématique
de vérité comme est définition.
inclusif.
–Remarque
On a utilisé1une phrase en français contenant les mots “et” et “ou” pour définir les connecteurs logiques
“et”– et “ou”. On
Comme dit évite ce problème enleprenant
dans l’introduction, “ou” dans lesletables
langagede mathématique
vérité comme définition.
est inclusif.
La négation “non”
– On a utilisé une phrase en français contenant les mots “et” et “ou” pour définir les P connecteurs
V F logiques
L’assertion “non ” est On
“et” etP“ou”. vraie si P
évite ce est fausse.enElle
problème est fausse
prenant sinon.
les tables non P F V
de vérité comme définition.
La négation “non” P V F
L’assertion “non
L’implication “)” P ” est vraie si P est fausse. Elle est fausse sinon. non P F V
La négation “non” P V F V F
P V F
L’assertion
L’assertion )“non
“P “)” Q” estP ” vraie
est vraie si P est fausse.
si l’assertion “non PElleouest
Q”fausse sinon.
est vraie. Q V V F F
L’implication non P F V
P P) Q VV FV VF FV
L’assertion “P ) Q” est vraie si l’assertion “non P ou Q” est vraie. Q V V F F
L’implication “)”
Exercice 1 P ) PQ V V VF FV VF
L’assertion “P ) Q” est vraie si l’assertion “non P ou Q” est vraie. 2 Q V V F F
Quelle
Exercice est la
1 valeur de vérité de l’assertion : “Soit x un réel. Alors x < 0 ) 2 = P )3”. Q V V F V

Quelle est la valeur
Exercice 1 de vérité de l’assertion : “Soit x un réel. Alors x2 < 0 ) 2 = 3”.
Remarque
Remarque :2
Quelle est la valeur de vérité de l’assertion : “Soit x un réel. Alors x2 < 0 ) 2 = 3”.
Remarque 2 “P ) Q” se lit aussi : si P est vraie, alors Q est vraie.
1. L’assertion
2. La réciproque
1. Remarque
L’assertion de l’assertion “P ) Q” est l’assertion “Q ) P ”.
2“P ) Q” se lit aussi : si P est vraie, alors Q est vraie.
2. La réciproque de l’assertion “P ) Q” est l’assertion “Q ) P ”.
1. L’assertion “P ) Q” se lit aussi : si P est vraie, alors Q est vraie.
L’équivalence “,” P V F V F
2. La réciproque de l’assertion “P ) Q” est l’assertion “Q ) P ”.
L’assertion “P ,
L’équivalence “,”Q” est vraie si l’assertion “(P ) Q) et (Q ) P )” Q
P VV FV VF FF
est vraie.
L’assertionLa table
“P , Q” de vérité est la table ci-contre.
est vraie si l’assertion “(P ) Q) et (Q ) P )” P Q, Q VV VF FF FV
L’équivalence “,”
L’assertion “P table
est vraie. La , Q”desevérité
lit aussi : Ptable
est la équivaut à Q, ou l’assertion P est vraie si et Pseulement
ci-contre.
V si F l’assertion
V F Q
P ,Q V F F V
est L’assertion
vraie, ou “P
encore, ,
P Q”
si est
et vraie
seulement si l’assertion
si Q. En “(P ) Q)
général, et
on (Q ) P )”
s’intéresse aux assertions
Q vraies,
V lorsque
V F l’on
F écrit
L’assertion “P , Q” se lit aussi : P équivaut à Q, ou l’assertion P est vraie si et seulement si l’assertion Q
“P est vraie.
on Laen
table de vérité
“P est la table ci-contre. , QP etV Q sont
direP que F F V !
est, Q”,
vraie, ou veut
encore, Pfait
si dire , Q”
et seulement siestQ.vraie. Par contre,
En général, cela ne veut
on s’intéresse auxpas
assertions vraies, lorsque vraies
l’on écrit
L’assertion “P , Q” se lit aussi : P équivaut à Q, ou l’assertion P est vraie si et seulement si l’assertion Q
“P , Q”, on veut en fait dire “P , Q” est vraie. Par contre, cela ne veut pas dire que P et Q sont vraies !
est vraie, ou encore, P si et seulement si Q. En général, on s’intéresse aux assertions vraies, lorsque l’on écrit
Démonstration
Proposition 1. en fait dire “P , Q” est vraie. Par contre, cela ne veut pas dire que P et Q sont vraies !
“P , Q”, on veut

, – Comme dit dans l’introduction,
P V F le “ou” dans le langage mathématique est inclusif.
est fausse. Elle est fausse sinon.
Remarque – On2 a utilisé une non
phrase
P enF français
V contenant les mots “et” et “ou” pour définir les connecteurs logiques
“et” et “ou”. On évite ce problème en prenant les tables de vérité comme définition.
Remarque 1 “P ) Q” se lit aussi : si P est vraie, alors Q est vraie.
1. L’assertion
P V F V F
2.
– La réciproque
Comme de l’introduction,
dit dans l’assertion “P )leQ”“ou”
est l’assertion “Q ) P ”.
assertion “non P ou Q” est vraie. Q V V F Fdans le langage mathématique est inclusif.
La négation “non”
– On a utilisé une phrase
P ) Qen V français
V contenant
F V les mots “et” et “ou” pour définir les connecteurs
P Vlogiques
F
L’assertion “non
“et” et “ou”.
L’équivalence “,” ” estcevraie
On Pévite si P est
problème en fausse.
prenantElleles est fausse
tables sinon.comme définition.non P F V
de vérité P V F V F
L’assertion “P , Q” est vraie si l’assertion “(P ) Q) et (Q ) P )” Q V V F F
l’assertion : “Soit xLa est L’implication
vraie.
unnégation La table
réel. Alors “non”
2 de “)”
vérité
x < 0 ) 2 = 3”.est la table ci-contre. P , Q V FP F V V F V F
L’assertion “P , Q” se lit aussi : P équivaut à Q, ou l’assertion P est vraie si et seulementPsi Q V V F VQ
l’assertion F F
L’assertion
L’assertion “non “P
PP” )
est Q” est sivraie si fausse.
l’assertion
Elle“non P ou Q” est vraie.
est vraie, ou encore, si etvraie P est
seulement si Q. estonfausse
En général, sinon.
s’intéresse non
aux assertions vraies, )P Q F
Plorsque l’on VV
V écrit F V
“P , Q”, on veut en fait dire “P , Q” est vraie. Par contre, cela ne veut pas dire que P et Q sont vraies !
L’implication
aussi : si P est vraie, alors Exercice“)”
Q est vraie.1 P Démonstration
V F V F
V.
Proposition
L’équivalence
1.
on “P ) Q” est l’assertion “Q
L’assertion )
QuelleP ”.
“P est
) la
Q”valeur de vérité
est vraie de l’assertion
si l’assertion “non P :ou
“Soit unvraie.
Q” xest Q V V F
réel. Alors x < 0 ) 2 = 3”.
2 F
Soient P et“P
L’assertion Q deux
⇔ Q”assertions.
est vraieOn a les équivalences
si l’assertion suivantes
“ (P ⇒ Q) et (Q P
: ⇒ P)” est vraie. ) Q V V F V
1. (P )
Exercice 1 Q) , 2(non QP) nonVP ), F
Remarque V F
’assertion “(P ) Q) et (Q2.)PP , )” (non P ) F ).Q V V F F
table ci-contre. Quelle est 1. laL’assertion
valeur de “P
vérité
) Q” se lit aussi: :“Soit
de l’assertion si P xestunvraie,
réel. alors
AlorsQx2est
< 0vraie.
) 2 = 3”.
P ,Q V F F V
P équivaut à Q, ou l’assertion2.P La estréciproque de l’assertion
vraie si et seulement “P ) Q”Qest l’assertion “Q ) P ”.
si l’assertion
1.2. Quantificateurs
ent si Q. En général,Remarque
on s’intéresse2 aux assertions vraies, lorsque l’on écrit
Les quantificateurs
, Q” est vraie. Par contre, cela ne veutinterviennent
pas dire que pour
P et construire des assertions.
Q sont vraies !
L’équivalence
1. L’assertion “P“,” ) Q” se lit aussi : si P est vraie, alors Q est vraie.
DÉMONSTRATION
Le quantification “pour tout” 8 Démonstration
P V F V F
2.L’assertion
La réciproque
Proposition
“P ,de
1 : soient
est vraie si l’assertion
Q”l’assertion ) Q” est“(P
P et Q, deux“Passertions.
) Q) et“Q(Q))P P
l’assertion
On a les équivalents”. )”suivants : Q V V F F
est vraie.
Définition 2 La table de vérité est la table ci-contre. P ,Q V F F V
- (P :=> Q) ó (non P => non Q) contraposé
On a les équivalences suivantes
L’assertion “P , Q” se lit aussi : P équivaut à Q, ou l’assertion P est vraie si et seulement si l’assertion Q
L’assertion
- P ó“8x(non
2 E,P P=> F) est
(x)” vraie si l’assertion
raisonnement P (x) est vraie pour tout élément x de l’ensemble E.
par l'absurde
n P ), L’équivalence “,”
est vraie, ou encore, P si et seulement si Q. En général, on s’intéresse aux assertions P V vraies,
F Vlorsque
F l’on écrit
L’assertion
“P , Q”, “P on Q” est
, veut envraie si l’assertion
fait dire “P , Q” “(P est vraie.
) Q) Par et (Qcontre,
) P )”cela ne veut pasQdire que
V PVet Q F sont
F vraies !
Non Q 3
Exemple V V F F
est vraie. La table de vérité est la table ci-contre. P ,Q V F F V
Non PProposition
L’assertion “P“8n
L’assertion , 2Q”V sen1.+
N, Flit1aussi
2VN” est
:F P vraie. Démonstration
équivaut à Q, ou l’assertion P est vraie si et seulement si l’assertion Q
est vraie, ou
Non Q => encore, si
V F V V
P et seulement si Q. En général, on s’intéresse aux assertions vraies, lorsque l’on écrit
our construire des “P , Q”,PSoient
non
assertions. et fait
on veutP en Q deuxdire assertions.
“P , Q” est Onvraie.
a les Par
équivalences suivantes
contre, cela ne veut: pasÉdire
QUI que P et Q sont vraies !
VAL
1. (P ) Q) , (non Q ) non P ), ENC
8 E Démonstration
Proposition
2. P ,1. (non P ) F ).

Soient P et Q deux assertions. On a les équivalences suivantes :
vraie si l’assertion1.2.
P (x) est vraie pour tout élément x de l’ensemble E. Q
Quantificateurs F F V V
1. (P ) Q) , (non Q ) non P ),
P F V F V
2. quantificateurs
Les P , (non P )interviennent
F ). pour construire des assertions.
Non Q => V F V V
est vraie. Le quantification “pour tout” 8 non P
1.2. Quantificateurs
Définition 2
2- Quantificateurs
Les quantificateurs interviennent pour construire des assertions.
L’assertion “8x 2 E, P (x)” est vraie si l’assertion P (x) est vraie pour tout élément x de l’ensemble E. 4
Le quantification “pour tout” 8
Raisonnement
Exemple
Définition 2 3 contraposé
Le quantificateur “il existe” 9
ØL’assertion
L’assertion “8x 2
Supposer
Définition
“8n 2
Q pour
3 E,
N, montrer
P (x)”nest 2 N”
+ 1vraiePsiest vraie. P (x) est vraie pour tout élément x de l’ensemble E.
l’assertion 4
Ex : Pythagore
L’assertion “9x 2 E, P (x)” est vraie si l’assertion P (x) est vraie pour au moins un élément x de l’ensemble
Ø Pó
LeExemple 3 (non
quantificateur
E. Lorsqu’il
P =>
y “il
F) par
existe”
a unicité
contraposition (non P => F) ó (V => P)
de9l’élément x tel que P (x) soit vraie, on écrit “9!x 2 E, P (x)”.
L’assertion
Définition“8n 3 2 N, n + 1 2 N” est vraie.
Exemple 4
(P =>“9x
L’assertion Q) n’est
2 E, pas
P (x)”équivalent
est vraie sià l’assertion
(non P => Pnon (x) Q)
est vraie pour au moins un élément x de l’ensemble
2 2 2 2
–Ex : x = y
L’assertionó “9nx 2 = y
Z, mais
n est x
pair”≠ y
estó x
vraie.≠ y
E. Lorsqu’il y a unicité de l’élément x tel que P (x) soit vraie, = FAUX
on écrit “9!x 2 E, P (x)”.
– L’assertion “9!x 2 R, (x > 0) et (x 6 0)” est vraie.

Exemple 4
Remarque 3
– L’assertion “9n 2 Z, n est pair” est vraie.
1. Dans une“9!x
– L’assertion assertion,
2 R, (xl’ordre
> 0) etdes
(x quantificateurs
6 0)” est vraie.est important. Par exemple, comparer les valeurs de
vérité des deux assertions suivantes :
– “8x 2 R, 9y 2 R, y < x”,
Remarque 3 2 R, 8x 2 R, y < x”.
– “9y
1. Dans
2. Laune assertion,
négation l’ordre
de “8x 2 E,des quantificateurs
P (x)” est “9x 2 E,est important.
non P (x)”. Par exemple, comparer les valeurs de
vérité des deux assertions suivantes :
3. La négation de “9x 2 E, P (x)” est “8x 2 E, non P (x)”.

, Exemple 4
Remarque 33
Remarque
– L’assertion “9n 2 Z, n est pair” est vraie.
1. Dans
1. Dans une
– L’assertionune assertion,
assertion,
“9!x l’ordre
2 R, (xl’ordre des
des
> 0) et quantificateurs
(xquantificateurs estimportant.
est
6 0)” est vraie. important.Par
Parexemple,
exemple,comparer
comparerleslesvaleurs
valeursdede
vérité des
vérité des deux
deux assertions
assertionssuivantes
suivantes: :
–– “8x
“8x 22 R,
R, 9y R, yy<<x”,
9y 22R, x”,
Remarque–– 3“9y
Remarques “9y R, 8x
: 22 R, 8x22R,R, yy<<x”.
x”.
2.
2. La
1. Dans La négation
négation
une de
de “8x
assertion, “8x 22E,
l’ordre PP(x)”
E,des (x)” est
est“9x
quantificateursE, non
“9x22E, nonP
est P(x)”.
(x)”.
important. Par exemple, comparer les valeurs de
3.
véritéLa
3. La négation
desnégation de “9x
de “9x 2 E,
deux assertions2 suivantes
E, P (x)” est
P (x)” est “8x non
: “8x 2 E, non P (x)”.
2 E, P (x)”.
– “8x 2 R, 9y 2 R, y < x”,
– “9y 2 R,
Exercice
Exercice 22 8x 2 R, y < x”.
2. Quantifier
La négation
Quantifier dedonner
puis
puis “8x 2lala
donner E, négation est
P (x)” de
négation “9x
de“Si
“Siun E, non P (x)”.
un2quadrilatère
quadrilatèreaatrois
troisangles
anglesdroits,
droits,alors
alorsc’est
c’estununrectangle”
rectangle”(on
(on
3. pourra
La essayer
négation
pourra de
essayerde donner
de“9x 2 E,lalaP
donner négation
(x)” estavant
négation “8x de
avant quantifier).
2deE, Laquelle
non P (x)”.
quantifier). Laquelledes
desdeux
deuxassertions
assertionsest
estvraie
vraie??
Attention
Attention :: la
la quantification
quantificationdes
desvariables
variablesmuettes
muettesest
estsouvent
souventabsente
absentedans
danslelelangage
langagecourant.
courant.

Exercice 2
3- Raisonnement
1.3.
1.3. Raisonnements
Raisonnements
Quantifier puis donner la négation de “Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle” (on
Il
Il existe plusieurs types
types de
pourraexiste plusieurs
essayer de donner la raisonnements
de raisonnements
négation qui
avant depermettent
qui permettent d’écrire
d’écrire
quantifier). des
desdémonstrations.
Laquelle démonstrations.
des Nous
Nousprésentons
deux assertions vraie ?leslesplus
présentons
est plus
courants
courants ainsi
ainsi que
que quelques
quelques schémas
schémasde
dedémonstrations
démonstrations associés.
associés.
Attention : la quantification des variables muettes est souvent absente dans le langage courant.
Quelques
Quelques raisonnements
raisonnementsdirects directs Lorsque
Lorsquel’onl’oncherche
chercheààdémontrer
démontrerl’assertion
l’assertion“P“PetetQ”,
Q”,ononraisonne
raisonnesouvent
souvent
en démontrant d’abord P puis Q. C’est un raisonnement “direct”. On peut rédiger de la façon suivante :
1.3. Raisonnements
en démontrant d’abord P puis Q. C’est un raisonnement “direct”. On peut rédiger de la façon suivante :
1. Montrons P . + démonstration.
1. Montrons P . + démonstration.
Il existe 2.
plusieurs
Et montronstypesQ. de+raisonnements
démonstration.qui permettent d’écrire des démonstrations. Nous présentons les plus
2. Et montrons Q.
courants ainsi que quelques schémas + démonstration.
de démonstrations associés.
3. Donc : P et Q.
3. Donc : P et Q.
Si l’on cherche à démontrer une assertion du type : “8x 2 E, P (x)” par un raisonnement direct, on commencera
Quelques raisonnements
Si l’on cherche à démontrer directs Lorsquedu
une assertion l’on cherche
type : “8x 2à E,
démontrer
P (x)” parl’assertion “P et Q”,
un raisonnement on raisonne
direct, souvent
on commencera
notre démonstration par “Soit x 2 E.” Puis on cherchera à montrer P (x).
notre démonstration
en démontrant d’abord P par
puis“Soit
Q. C’est
x 2 E.” unPuis on cherchera
raisonnement à montrer
“direct”. On Ppeut
(x). rédiger de la façon suivante :
Par contre, si l’on cherche à démontrer l’assertion “9x 2 E, P (x)” par un raisonnement direct, on peut exhiber
Par contre, si l’on cherche à démontrer l’assertion “9x 2 E, P (x)” par un raisonnement direct, on peut exhiber
1. Montrons
un élément Px .2+Edémonstration.
tel que P (x) est vraie.
un élément x 2 E tel que P (x) est vraie.
Pour
2. Et Pour finir,
montrons la façon la plus courante de montrer une implication P ) Q est d’utiliser un raisonnement direct.
+ démonstration.
Q.façon
finir, la la plus courante de montrer une implication P ) Q est d’utiliser un raisonnement direct.
On peut alors rédiger de la façon suivante :
3. Donc
On peut : Palors
et Q. rédiger de la façon suivante : 5
1. On suppose que P .
Si l’on1.cherche
On suppose que P . une assertion du type : “8x 2 E, P (x)” par un raisonnement direct, on commencera
à démontrer
2. Montrons Q. + démonstration.
notre démonstration
2. Montrons Q. par+“Soit x 2 E.” Puis on cherchera à montrer P (x).
démonstration. 55
3. Donc : P ) Q.
Disjonction
Par contre,
3. Donc si l’on de
: P cherche cas Lorsque l’on
) Q. à démontrer cherche“9x
l’assertion à démontrer
2 E, P (x)” l’assertion “8x 2 E, P (x)”,
par un raisonnement onon
direct, peut
peut montrer
exhiberl’assertion
un élémentpour x les
Exercice2 Ex3teldansqueune partie
P (x) A de E, puis la montrer pour les x n’appartenant pas à A.
est vraie.
Pour Exercice
Disjonction
Disjonction
finir, 3 cas
de
la façon la plusLorsque l’on de
courante cherche
montrerà démontrer l’assertion
une implication “8x
P “8x
)Q est
2 E,
2 E, P on peut
(x)”, on
d’utiliser
P (x)”, peut montrer l’assertion
montrer
un raisonnement l’assertion
direct.
Exemple
Montrer 5 b 2 Q ) a + b 2 Q”.
que “a,
pour
On peut les
pourMontrer
alors dans
les xxrédiger
dans une
de partie
la A
façon de E, puis
suivante
que “a, b 2 Q ) a + b 2 Q”. : la montrer pour les x n’appartenant
n’appartenant pas
pas à
à A.
A.
Montrons 5queque P . pour tout xP2,R,Q|xpar 2| un6raisonnement
2
1. On suppose
Exemple
Exemple
Pour démontrer une équivalence x x + 2. direct, on procède par la démonstration de la
PourSoit
double x 2 R.une
démontrer
implication. Nous
On distinguons
équivalence
peut rédiger ,
P dedeux
Q façon
la cas.un
par raisonnement
suivante : direct, on procède par la démonstration de la
2. Montrons Q. + pour
démonstration.
Montrons
Montrons
double que
implication.
Premier cas On : tout
xpeut R, |x |x
2Alors
> x2.rédiger de 2|la 6 x=2 xsuivante
façon
2| x+ 2.2.Ainsi
:
3. Donc 1. :xx
Soit
Soit Montrons
P2 Nous
R. Q.
2) : Pdistinguons
) Q. + démonstration.
deux cas. 3. Donc : P , Q.
1.
Premier
Premier Montrons
cas : : xP > ) 2.Q. +
Alors démonstration.
|x 2| = x 2. Ainsi 3. Donc : P , Q.
2. Réciproquement, x montrons
2
x + 2 :|x Q )2| x + 2 (x 2) = x2 2x + 4 = (x 1)2 + 3 > 0.
P .=+xdémonstration.
2
Exercice 3
2. Réciproquement, montrons : Q ) P . + démonstration.
+ 33 >
2 2 2 2
x2 x2|+6 2 2|x x2|+=2.x2 x + 2 (x 2) = x 2 2x 2x ++ 44 =
= (x
(x 1) 1)2 + > 0.
0.
MontrerOn quea “a,
doncb 2|xQ ) a +xb 2 Q”.
OnDeuxième
On aa donc
donc |x
|x 2| cas
2| 6x
6
: 22x <x2.
x x+
Alors |x 2| = (x 2). On obtient donc
+ 2.
2.
Deuxième
Pour démontrer
Deuxième une cas
cas :: xx <
équivalence < 2. Alors
P ,
2. Alors 2|par
|x2Q 2|
|x = un
= (xraisonnement
(x 2). On
2). On obtient
obtientdirect,
donc on procède par la démonstration de la
donc
x x + 2 |x 2| = x2 x + 2 + (x 2) = x2 > 0.
double implication. On peut rédiger de la façon suivante :
x22 x = xx2 >
2 2
x++ 22 |x |x 2| 2| =
=x x2 x x++ 22 +
+ (x
(x 2)2) = > 0.
2 x 0.
Et ainsi: P|x) 2|
1. Montrons Q.6+xdémonstration.x + 2. 3. Donc : P , Q.
Et Conclusion
Et ainsi |x
ainsi |x 2| 2| 6 6:x 22
xDans x+
x + 2. les cas, on a |x 2| 6 x2 x + 2.
tous
2.
2. Réciproquement, montrons les :cas,
Q) onPaa.|x + démonstration.
Conclusion :: Dans Dans tous tous les cas, 2| 6
2
Conclusion on |x 2| 6x x2 x x+ + 2.
2.

À l’aide d’un contre-exemple Pour montrer que la proposition “8 x 2 E, P (x)” est fausse, on peut montrer
À l’aide
l’aide d’un
À que sa d’un contre-exemple Pour
“9x 2 E, non Pour
contre-exemple
négation P (x)”montrer
montrer que la
que Il
est vraie. proposition
las’agit
proposition “8
“8 xx 2
2 E,
donc d’exhiber E, P (x)”
Pun est
est fausse,
fausse, on
contre-exemple
(x)” on peut
x 2 montrer
peut montrer
E à la proposition
que sa
quePsa négation “9x 2 E, non P (x)” est vraie. Il s’agit donc d’exhiber un contre-exemple x 2 E à la proposition
négation “9x 2 E, non P (x)” est vraie. Il s’agit donc d’exhiber un contre-exemple x 2 E à la proposition
(x).
P (x).
P (x).
Exercice 4
Exercice 4
Exercice 4
Montrer
Montrer que que l’assertion
l’assertion “Tout“Tout
nombrenombre pair
pair est un est un multiple
multiple de 4” estdefausse.
4” est fausse.
Montrer que l’assertion “Tout nombre pair est un multiple de 4” est fausse.

Raisonnement
Raisonnement par par contraposée
contraposée Il sesur
Il se base base sur la première
la première équivalence
équivalence de la proposition
de la proposition 1: 1:
Raisonnement par contraposée Il se base sur la première équivalence de la proposition 1 :
(P ) (P , (non
Q) ) ) non
Q) ,Q(non Q P)). non P ).
(P ) Q) , (non Q ) non P ).
On peut alors rédiger de cette façon :
OnOn
peutpeut
alorsalors rédiger
rédiger de cette
de cette façonfaçon
: :
1. Montrons
1. Montrons : non Q )Q non . + démonstration.
Pnon . + démonstration. 2. Par contraposée, on a démontré : P ) Q. : P ) Q.
1. Montrons : non: non
Q ) non)P . +Pdémonstration. 2. Par contraposée,
2. Par contraposée, on a démontré
on a démontré : P ) Q.

, que sa négation “9x 2 E, non P (x)” est vraie. Il s’agit donc d’exhiber un contre-exemple x 2 E à la proposition
Exercice 4
P (x).
Montrer que
Exercice 4 l’assertion “Tout nombre pair est un multiple de 4” est fausse.
Montrer que l’assertion “Tout nombre pair est un multiple de 4” est fausse.
Raisonnement par contraposée Il se base sur la première équivalence de la proposition 1 :

Raisonnement par contraposée Il(Pse) Q) ,
base sur(non Q ) nonéquivalence
la première P ). de la proposition 1 :
On peut alors rédiger de cette façon : (P ) Q) , (non Q ) non P ).
1. Montrons : non Q ) non P . + démonstration. 2. Par contraposée, on a démontré : P ) Q.
On peut alors rédiger de cette façon :
Attention : il ne faut pas confondre la contraposée (non Q ) non P ) avec la réciproque (Q ) P ). La première
1. Montrons
est équivalente : non
à (P ) non
Q alors
) Q) P .la+seconde
que démonstration.
ne l’est pas. 2. Par contraposée, on a démontré : P ) Q.
Attention
Exercice: 5il ne faut pas confondre la contraposée (non Q ) non P ) avec la réciproque (Q ) P ). La première
est équivalente à (P ) Q) alors que la seconde ne l’est pas.
Soient n, m 2 N⇤ . Montrer que : nm = 1 ) n = 1 et m = 1.
Exercice 5
Soient n, m 2 par
Raisonnement N⇤ . l’absurde
Montrer queIl: se
nm base ) la
= 1sur n= 1 et m =
deuxième 1.
équivalence de la proposition 1 :

P , (non P ) F )
Raisonnement par l’absurde Il se base sur la deuxième équivalence de la proposition 1 :
On peut alors rédiger de cette façon :
P , (non P ) F )
1. Supposons par l’absurde : non P . + démonstration.
On2.peut
Nous aboutissons
alors à une
rédiger de cettecontradiction.
façon : Donc P est vraie.
1. Supposons par l’absurde : non P . + démonstration.
Raisonnement par récurrence On l’utilise pour démontrer une assertion du type “8n 2 N, P (n)”. On peut
2. Nous
rédiger de laaboutissons à une
façon suivante : contradiction. Donc P est vraie.

1. Montrons par
Raisonnement parrécurrence
récurrencesur nOn que P (n).
2 Nl’utilise 3. Hérédité
pour démontrer : soitdu
une assertion Supposons
2 N. “8n
n type et mon-
P (n) On
2 N, P (n)”. peut
2. Initialisation
rédiger : montrons
de la façon suivante : P (0). + démo. trons P (n + 1). + démo.
4. Conclusion : donc pour tout n 2 N, P (n).
1. Montrons par récurrence sur n 2 N que P (n). 3. Hérédité : soit n 2 N. Supposons P (n) et mon-
2. Initialisation : montrons P (0). + démo. trons P (n + 1). + démo.
4. Conclusion : donc pour tout n 2 N, P (n).

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