Notes de cours
Cours de Maths 1ère année EPITA
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3 revues
Par: yassinedamiri • 5 année de cela
Par: marinemuthu • 5 année de cela
Par: younesbenreguieg • 6 année de cela
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MathématiquesCours de Sup
,Table des matières
1 Révisions et compléments sur les complexes 7
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Forme trigonométrique et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Equations du second degré à coefficients complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Racines carrées d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Equations du second degré à coefficients complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Racines nème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Révisions et compléments sur l’intégration 11
2.1 Primitive d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Intégrale d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.4 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Méthodes de calcul de primitives ou d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Intégration par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Fonctions d’une variable réelle 17
3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 Graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3 Fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Notions de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Voisinage d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2 Fonction définie au voisinage d’un réel ou de l’infini . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.3 Limite finie d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.4 Autres types de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1
, 3.3.2 Image d’un segment par une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.3 Dérivabilité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.4 Extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Théorèmes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5.1 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6 Comparaison locale de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6.1 Définitions des notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7.1 Théorème de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7.2 Définition d’un développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7.4 Applications des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Equations différentielles 33
4.1 Equations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.2 Résolution de (E0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.3 Résolution de (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants . . . . . 36
4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.2 Résolution de (E0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.3 Cas où le second membre est de type polynôme ou exponentielle-polynôme 38
5 Logique 41
5.1 Sur les propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.2 Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.3 Implication, réciproque, équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.4 Les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Raisonnements mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.1 Raisonnements directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.2 Raisonnements par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.3 Raisonnements par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2
, 5.2.4 Raisonnements par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Arithmétique dans Z 49
6.1 Divisibilité dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1.1 Diviseurs, multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1.2 Division euclidienne dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2 PGCD (et PPCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.3 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2.4 Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2.5 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Nombres premiers dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.2 L’ensemble P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.3 Décomposition en produit de facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4 L’ensemble Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4.1 Congruence dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4.2 L’ensemble Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4.3 Structure de corps de Z/nZ quand n est premier . . . . . . . . . . . . . . 63
6.4.4 Petit théorème de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7 Polynômes 65
7.1 Ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans K . . . . . . . 65
7.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.1.2 Somme de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.1.3 Multiplication externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1.4 Multiplication interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1.5 Ecriture définitive d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.1.6 Autres opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.1.7 Fonction polynômiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2 Arithmétique dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2.1 Divisibilité dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2.2 Division euclidienne dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2.3 Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3
, 7.3.3 Ordre de multiplicité d’une racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.3.4 Polynômes irréductibles dans R[X] et C[X] (admis) . . . . . . . . . . . . . 75
8 Suites numériques 77
8.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.1.2 Définitions liées à l’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2 Convergence et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.2.3 Propriétés des suites convergentes ou divergentes . . . . . . . . . . . . . . 81
8.2.4 Théorème de Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.3 Limite et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.3.1 Passage à la limite dans les inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.3.2 Théorème des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.4 Opérations sur les limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.4.1 Pour les suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.4.2 Pour les suites divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.5 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.5.1 Propriétés des suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.5.2 Les suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.6 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.6.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.6.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.6.3 Le théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.7 Suites récurrentes du type un+1 = f (un ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.7.1 Etude générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.7.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.8 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.8.1 Relations de prépondérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.8.2 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.8.3 Développements limités et développements asymptotiques . . . . . . . . . 98
9 Espaces vectoriels 100
9.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.1.1 Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.1.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4
, 9.1.4 Sous-espace vectoriel engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.1.4.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.2 Familles libres, familles génératrices, bases d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . 109
9.2.1 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.2.2 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.2.3 Les bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.3.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.3.3 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.3.4 Projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.4 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.4.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.4.2 Dimension d’un espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . 118
9.4.3 CNS pour qu’une famille de vecteurs de E soit une base de E . . . . . . . 119
9.4.4 Le théorème de la base incomplète et ses conséquences . . . . . . . . . . . 120
9.4.5 Le théorème du rang et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10 Matrices 123
10.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.1.2 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.1.3 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.1.4 Inverse d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.2 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.2.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.2.2 Interprétation matricielle de v = f (u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.2.3 Matrice de g ◦ f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.2.4 Matrice de la réciproque d’une application linéaire quand elle est bijective 132
11 Fractions rationnelles 134
11.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.1.1 Définitions et règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.1.2 Représentant irréductible d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . 135
11.1.3 Degré d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.1.4 Racines et pôles d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.1.5 Un outil : la division suivant les puissances croissantes . . . . . . . . . . . 137
11.2 Partie entière d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5
, 11.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.2.2 Méthode de recherche de la partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.3 Décomposition en éléments simples d’une fractions rationnelle . . . . . . . . . . . 139
11.3.1 Théorème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.3.2 Méthodes pour trouver les coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.3.2.1 Cas des pôles simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.3.2.2 Cas des pôles multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
11.3.2.3 Cas des éléments de seconde espèce . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6
, Chapitre 1
Révisions et compléments sur les
complexes
1.1 Définitions
Définition 1
On appelle nombre complexe tout nombre de la forme a+ib où (a, b) ∈ R2 et i2 = −1. L’ensemble
des nombres complexes est noté C.
Si z = a + ib ∈ C, a est appelé partie réelle de z (notée Re(z)) et b partie imaginaire de z (notée
Im(z)).
Remarques
1. Les règles sur les opérations sont identiques à celle de R avec la condition supplémentaire
i2 = −1.
Par exemple si z1 = 1 + 2i et z2 = 4 − 3i alors z1 + z2 = 5 − i et z1 z2 = 10 + 5i.
2. z1 = z2 ⇐⇒ Re(z1 ) = Re(z2 ) et Re(z1 ) = Re(z2 ).
En particulier a + ib = 0 ⇐⇒ a = 0 et b = 0.
Définition 2
Soit z = a + ib ∈ C. On appelle conjugué de z le nombre complexe noté z défini par z = a − ib.
Proposition 1
Soit (z, z ′ ) ∈ C2 . Alors
z+z z+z
1. Re(z) = et Im(z) =
2 2i
2. z ∈ R ⇐⇒ z = z et z ∈ iR ⇐⇒ z = −z
7
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Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur Yoneitsab. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour 5,49 €. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
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