CHAPITRE 2 :
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
INTRODUCTION :
Dans ce chapitre nous allons étudier des fonctions qui dépendent non plus d’une variable x mais de 2
variables x et y ou 3 variables (x, y, z ou x, y, ƛ).
x
EXEMPLES :
• Aire d’un rectangle y
A (x, y) = x y à 2 variables
• Pour un concert, si on considère x places à 50€, y places à 20€ et z places à 10€.
La recette est alors R (x, y, z) = 50x+20y+10z à 3 variables.
I. "DÉRIVÉE" D’UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
La notion de dérivée à une fonction de plusieurs variable n’existe pas !
Il existe : • Des dérivées partielle ;
• Le gradient ;
• Un différentiel.
DÉFINITIONS : (dérivée partielle)
• En 2 variables, une fonction f (x, y) possède 2 dérivées partielles.
𝓞𝐟
(x, y) est la dérivée partielle de f en x, c’est-à-dire la dérivée de la fonction Xàf (x, y).
𝓞𝐱
𝓞𝐟
(x, y) est la dérivée partielle de f en y, c’est-à-dire la dérivée de la fonction yà f (x, y).
𝓞𝐲
𝒪f
EXEMPLE : f (x, y) = 𝑥 + 𝑦 ! 𝒪x (𝑥, 𝑦) = 1
𝒪(
(𝑥, 𝑦) = 2𝑦
𝒪)
En pratique pour calculer une dérivée partielle par rapport à une variable, on considère que les autres
variables sont fixes puis on dérive comme une fonction de variable.
• En 3 variables c’est le même principe, une fonction f (x, y, z) possède 3 dérivées partielles
𝓞𝐟 𝓞𝐟 𝓞𝐟
(x, y, z) (x, y, z) (x, y, z)
𝓞𝐱 𝓞𝐲 𝓞𝐳
EXEMPLES :
• 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 " + 3𝑥𝑦 + 4𝑦 "
𝒪f
(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦
𝒪x
𝒪f
(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 8𝑦
𝒪y
• 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 " 𝑦 " + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑦
𝒪f
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑦 " + 𝑦𝑧
𝒪x
𝒪f
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 " 𝑦 + 𝑥𝑧 + 1
𝒪y
𝒪f
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦
𝒪z
, DÉFINITION : On appelle gradient le vecteur colonne forme de toutes les dérivées partielles de f. On le
note 99999999999⃗
grad f(x, y) ou ∇𝑓 (∇ est une lettre groupe "noble")
En 2 variables :
𝒪f
999999999999999⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 (𝑥, 𝑦) =
𝒪x
𝒪f
𝒪y
En 3 variables :
𝒪f
999999999999999⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝒪x
𝒪f
𝒪y
𝒪f
𝒪z
EXEMPLE : 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑥𝑦 " + 3𝑦 #
999999999999999⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 (𝑥, 𝑧) = 1 + 2𝑦 "
4𝑥𝑦 + 12𝑦 $
II. DÉRIVÉES PARTIELLE SECONDES ET MATRICE HESSIENNE
DÉFINITION : (Dérivée partielles secondes ou dérivées partielles d’ordre 2)
• En 2 variables, f (x, z) possède dérivée partielle seconde.
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de x ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪'𝒪' 𝒪'
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de y ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪(𝒪' 𝒪'
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de x ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪'𝒪( 𝒪(
𝒪!& 𝒪&
(𝑥, 𝑦) est la dérivée de y ↦ (𝑥, 𝑦)
𝒪(𝒪( 𝒪(
Notation :
𝒪!& 𝒪!&
𝒪'𝒪'
peut se notée 𝒪) !
𝒪!& 𝒪!&
𝒪(𝒪(
peut se notée 𝒪* !
EXEMPLE : 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 $ + 𝑥𝑦 " + 𝑦 #
𝒪&
• Dérivées partielles : (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 " + 3𝑦 "
𝒪'
𝒪&
(𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦 + 4𝑦 "
𝒪'
𝒪!&
• Dérivée partielles secondes : 𝒪) ! = 6𝑥
𝒪" f
= 6𝑦
𝒪y𝒪x
Elles sont égales
𝒪" f
= 6𝑦
𝒪x𝒪y
𝒪" f
= 6𝑥 + 12𝑦 "
𝒪𝑦 "
