Notes de cours
Mathématiques - Chapitre 1 "Les Suites Récurrentes Linéaires"
- Cours
- Mathématiques
- Établissement
- Aix-Marseille (AMU)
Ce fichier contient le 1er Chapitre du cours Mathématiques.
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CHAPITRE ISUITES RÉCURRENTES
0) Suites numériques
1. DÉFINITIONS
On appelle suite numérique réelle une application de ℕ dans ℝ, qui à chaque indice entier 𝑛 ∈ ℕ associe
𝑢! ∈ ℝ.
∅∶ℕ→ℝ
𝑛 → 𝑢!
Le domaine de définition est ℕ ou une partie de ℕ. On note la suite (𝑢! ) 𝑛.
Une suite : c’est un tableau de valeur indexé.
n 0 1 2 3 … n n+1
Un U0 U1 U2 U3 … Un Un+1
EXEMPLE : 𝑈! = 5! + 1
n 0 1 … n
Un 1 6 … 5n+1
⤷5×0+1
: Soit (𝑢! ) 𝑛 une suite,
1 - On dit que (𝑢! ) 𝑛 est croissante si ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢!"# ≥ 𝑢! ;
Croissant : La succession des valeurs n’arrête pas d’augmenter.
2 - On dit que (𝑢! ) 𝑛 est décroissante si ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢!"# ≤ 𝑢! .
Décroissant : La succession des valeurs n’arrête pas de baisser.
On a des définitions similaires pour strictement décroissante ou strictement croissante.
Méthode pour tester la monotonie d’une suite :
- On cherche le signe de 𝑢!"# − 𝑢! : La suite 𝑢! = 5𝑛 + 1 est strictement croissante.
En effet ∀𝑛 ∈ ℕ, on a 𝑢!"# − 𝑢! = 5(𝑛 + 1) + 1 − (5𝑛 + 1) = 5 > 0.
𝑢!"# 𝑢!
= 5! + 5 + 1 − 5! − 1
=5>0
$ &!
- Si (𝑢! ) 𝑛 est à termes strictement positifs, on compare à 1 le quotient $!"# : La suite 𝑢! = '! est
!
décroissante.
$!"# &(!"#) '! !"#
En effet ∀𝑛 ≥ 1, on a $!
= '!"#
× &! = '!
≤1
REMARQUE : Quelques soit 𝑛, 𝑢!"# est strictement croissante de 𝑢!
∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢!"# > 1
La suite est strictement croissante
: Soit (𝑢! ) 𝑛 une suite,
1 - (𝑢! ) 𝑛 est majorée si ∃𝐴 ∈ ℝ, ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢!"# ≤ 𝐴 ;
2 - (𝑢! ) 𝑛 est minorée si ∃𝐵 ∈ ℝ, ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢!"# ≥ 𝐵 ;
3 - (𝑢! ) 𝑛 est bornée si elle est majorée et minorée.
# #
Les suites ((−1)! )𝑛 et N(− )! O 𝑛 sont bornées car on a pour tout 𝑛, | (−1)! | ≤ 1 𝑒𝑡 | − )! | ≤ 1
' '
, : On dit que la suite (𝑢! ) 𝑛 converge vers le réel 𝚤 ∈ ℝ si
∀𝜀 > ∃𝑛* ∈ ℕ, ∀𝑛 ≥ 𝑛* | 𝑢! − 𝚤 | ≤ ε
On écrit alors lim 𝑢! = 𝚤.
!→",
(-#)!
EXEMPLE : N !
O 𝑛 converge vers 0
: (𝑢! )𝑛 est dite divergente si elle ne converge pas.
EXEMPLE : ((−1)! )𝑛 et (cos 𝑛)𝑛 divergent, mais aussi (𝑛' )𝑛 ou (ln 𝑛)𝑛.
1
-1
: (𝑢! )𝑛 tend vers +∞ si
∀𝐴 > 0, ∃𝑛* ∈ ℕ, ∀𝑛 ≥ 𝑛* 𝑢! ≥ 𝐴
(𝑢! )𝑛 tend vers −∞ si
∀𝐵 < 0, ∃𝑛* ∈ ℕ, ∀𝑛 ≥ 𝑛* 𝑢! ≤ 𝐵
REMARQUE : Il y a donc 4 comportements possibles pour une suite.
PROPOSITION 1 : Le théorème de croissance comparée nous donne les limites suivantes :
(./ !)$
1 - ∀𝑎, 𝑏 > 0, lim !%
= 0 (Comparaison ln/puissance)
!→",
(!)$
2 - ∀𝑎 > 1, ∀𝑏 ∈ ℝ, lim = 0 (Comparaison puissance/exponentielle)Tapez une équation ici.
!→", 0 !
3 - ∀|𝑎| < 1, ∀𝑏 ∈ ℝ, lim (𝑛)1 𝑎! = 0 (Comparaison puissance/exponentielle bis)
!→",
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