Notes de cours
Mathématiques - Chapitre 1 "Les Suites Récurrentes Linéaires"
- Cours
- Mathématiques
- Établissement
- Aix-Marseille (AMU)
Ce fichier contient le 1er Chapitre du cours Mathématiques.
[Montrer plus]
Vendeur
S'abonner
Aperçu du contenu
CHAPITRE ISUITES RÉCURRENTES
0) Suites numériques
1. DÉFINITIONS
On appelle suite numérique réelle une application de ℕ dans ℝ, qui à chaque indice entier 𝑛 ∈ ℕ associe
𝑢! ∈ ℝ.
∅∶ℕ→ℝ
𝑛 → 𝑢!
Le domaine de définition est ℕ ou une partie de ℕ. On note la suite (𝑢! ) 𝑛.
Une suite : c’est un tableau de valeur indexé.
n 0 1 2 3 … n n+1
Un U0 U1 U2 U3 … Un Un+1
EXEMPLE : 𝑈! = 5! + 1
n 0 1 … n
Un 1 6 … 5n+1
⤷5×0+1
: Soit (𝑢! ) 𝑛 une suite,
1 - On dit que (𝑢! ) 𝑛 est croissante si ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢!"# ≥ 𝑢! ;
Croissant : La succession des valeurs n’arrête pas d’augmenter.
2 - On dit que (𝑢! ) 𝑛 est décroissante si ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢!"# ≤ 𝑢! .
Décroissant : La succession des valeurs n’arrête pas de baisser.
On a des définitions similaires pour strictement décroissante ou strictement croissante.
Méthode pour tester la monotonie d’une suite :
- On cherche le signe de 𝑢!"# − 𝑢! : La suite 𝑢! = 5𝑛 + 1 est strictement croissante.
En effet ∀𝑛 ∈ ℕ, on a 𝑢!"# − 𝑢! = 5(𝑛 + 1) + 1 − (5𝑛 + 1) = 5 > 0.
𝑢!"# 𝑢!
= 5! + 5 + 1 − 5! − 1
=5>0
$ &!
- Si (𝑢! ) 𝑛 est à termes strictement positifs, on compare à 1 le quotient $!"# : La suite 𝑢! = '! est
!
décroissante.
$!"# &(!"#) '! !"#
En effet ∀𝑛 ≥ 1, on a $!
= '!"#
× &! = '!
≤1
REMARQUE : Quelques soit 𝑛, 𝑢!"# est strictement croissante de 𝑢!
∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢!"# > 1
La suite est strictement croissante
: Soit (𝑢! ) 𝑛 une suite,
1 - (𝑢! ) 𝑛 est majorée si ∃𝐴 ∈ ℝ, ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢!"# ≤ 𝐴 ;
2 - (𝑢! ) 𝑛 est minorée si ∃𝐵 ∈ ℝ, ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢!"# ≥ 𝐵 ;
3 - (𝑢! ) 𝑛 est bornée si elle est majorée et minorée.
# #
Les suites ((−1)! )𝑛 et N(− )! O 𝑛 sont bornées car on a pour tout 𝑛, | (−1)! | ≤ 1 𝑒𝑡 | − )! | ≤ 1
' '
, : On dit que la suite (𝑢! ) 𝑛 converge vers le réel 𝚤 ∈ ℝ si
∀𝜀 > ∃𝑛* ∈ ℕ, ∀𝑛 ≥ 𝑛* | 𝑢! − 𝚤 | ≤ ε
On écrit alors lim 𝑢! = 𝚤.
!→",
(-#)!
EXEMPLE : N !
O 𝑛 converge vers 0
: (𝑢! )𝑛 est dite divergente si elle ne converge pas.
EXEMPLE : ((−1)! )𝑛 et (cos 𝑛)𝑛 divergent, mais aussi (𝑛' )𝑛 ou (ln 𝑛)𝑛.
1
-1
: (𝑢! )𝑛 tend vers +∞ si
∀𝐴 > 0, ∃𝑛* ∈ ℕ, ∀𝑛 ≥ 𝑛* 𝑢! ≥ 𝐴
(𝑢! )𝑛 tend vers −∞ si
∀𝐵 < 0, ∃𝑛* ∈ ℕ, ∀𝑛 ≥ 𝑛* 𝑢! ≤ 𝐵
REMARQUE : Il y a donc 4 comportements possibles pour une suite.
PROPOSITION 1 : Le théorème de croissance comparée nous donne les limites suivantes :
(./ !)$
1 - ∀𝑎, 𝑏 > 0, lim !%
= 0 (Comparaison ln/puissance)
!→",
(!)$
2 - ∀𝑎 > 1, ∀𝑏 ∈ ℝ, lim = 0 (Comparaison puissance/exponentielle)Tapez une équation ici.
!→", 0 !
3 - ∀|𝑎| < 1, ∀𝑏 ∈ ℝ, lim (𝑛)1 𝑎! = 0 (Comparaison puissance/exponentielle bis)
!→",
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur DamienGth. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour 4,99 €. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
53920 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans