Ceci un cours résumé de la leçon des calcul integrales 2.Il est assez court bref et va directement au vif du sujet donc vous retrouvez dessus toutes les notions fondamentales pour assimiler comme il se doit ce cours
I) Intégrale d’une fonction sur un segment.
Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ;b] et F une primitive de f sur [a ;b] .
b
Le nombre F (b) − F (a) est appelé intégrale de a à b de f , on le note f ( x )dx .
a
Notation: Par commodité, le nombre F (b) − F (a) s’écrit aussi F ( x )a . C’est-à-dire: a f ( x )dx = F ( x )a = F (b) − F (a )
b b b
f ( x )dx = − f ( x )dx
a b a
Conséquences : f ( x )dx = 0 et
a a b
Propriété1 : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, alors quel que soit l’élément a de I,
x
La fonction x f (t )dt est la primitive de f sur I qui s’annule en a.
a
II) Propriétés de l’intégrale.
Si f et g sont deux fonctions définies et continues sur un intervalle I, et a, b et c trois réels de I. et soit k IR .
a f ( x) + g( x) dx = a f ( x )dx + g( x )dx et k . f ( x )dx = k . f ( x )dx
b b b b b
▪ Linéarité de l’intégrale:
a a a
f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx
b c b
▪ Additivité ou relation de Chasles :
a a c
b
▪ Positivité de l’intégrale : Si f(x) 0 sur I et si a b , alors f ( x )dx 0
a
f ( x )dx g( x )dx .
b b
▪ Intégrale et ordre : Si f(x) g(x) sur I et si a b , alors
a a
b
▪ Inégalité de la moyenne: Si m f(x) M sur I et si a b , alors : m(b − a ) f ( x )dx M (b − a ) .
a
▪ Valeur moyenne d’une fonction :
1
Si a b alors le nombre =
b
f ( x )dx est appelé valeur
b−a a
moyenne de f sur l’intervalle a; b .
Remarques :
• La valeur moyenne de f est comprise entre m et M .
• Si le plan est rapporté à un repère orthonormé et si f(x) 0 sur I,
b
alors est la hauteur du rectangle de base b − a et d’aire : f ( x )dx
a
III) Techniques de calcul d’une intégrale.
▪ Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive.
La connaissance des primitives de fonctions usuelles permet de calculer des intégrales. (Tableau page 14)
▪ Intégration par parties: Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Alors (uv )' = u ' v + uv ' , donc uv ' = (uv )'− u ' v . Or une primitive de ( uv )' est uv ,
u' ( x ) v( x )dx = u( x ) v( x )a - u( x ) v' ( x )dx
b b b
d’où a a
(Formule d’intégration par parties)
▪ Décomposition de fractions en éléments simples.
▪ Intégrale - Parité : Soit f une fonction continue sur un intervalle − a; a .
f ( x )dx = − f ( x )dx
a a a
Si f est paire, alors Si f est impaire, alors f ( x )dx = 0
−a 0 −a
▪ Intégrale – Périodicité : Soit f une fonction continue et périodique sur IR de période T.
b +T a +T b +T
f ( x )dx = f ( x )dx f ( x )dx =
b
Alors, quels que soient les réels a et b on a : et f ( x )dx
a +T a a b
▪ Linéarisation des fonction trigonométrique. (Nombres complexes)
Pr: BELKHYR ABDELAZIZ 2019/2020
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