La dérivabilité et la différentiation sont des notions clés en mathématiques, qui permettent de mesurer et de quantifier la variabilité des fonctions. La dérivée d'une fonction en un point mesure la vitesse de variation de la fonction à cet endroit, tandis que la différentiation consiste ...
Fiche de révisions - Mathématiques - Niveau Terminale
Dérivabilité & Différentiation
Dérivabilité
La dérivabilité est une propriété des fonctions qui permet de mesurer leur variabilité. Une
fonction f est dérivable en un point x0 si elle possède une tangente en ce point, c’est-à-dire si
elle peut être approximée par une droite de pente finie. La dérivée de f en x0 , notée f ′ (x0 ),
mesure la pente de cette droite.
La dérivée de f en x0 peut être calculée grâce à la limite suivante :
f (x0 +h)−f (x0 )
[f ′ (x0 ) = limh→0 h
]
Si cette limite existe, on dit que f est dérivable en x0 et on note f ′ (x0 ) la dérivée de f
en x0 . Si cette limite n’existe pas, on dit que f n’est pas dérivable en x0 .
La dérivée de f en x0 peut être interprétée comme la vitesse de variation de f en x0 . Elle
permet également de construire la tangente à la courbe représentative de f en x0 , grâce à la
formule y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 ).
Principales formes de dérivées usuelles
Fonction Dérivée
xn nxn−1
sin x cos x
cos x − sin x
ex ex
1
ln x x
1
− x12
√x 1
x √
2 x
Différentiation
La différentiation est l’opération qui consiste à trouver la dérivée d’une fonction. Elle est
réalisée en utilisant les règles de dérivation, qui permettent de dériver une fonction simple à
partir de fonctions élémentaires (par exemple, dériver xn donne nxn−1 ).
Il est important de noter que la dérivée d’une fonction en un point ne dépend pas du choix
du voisinage de ce point, c’est-à-dire que si f est dérivable en x0 et si h est suffisamment
petit, alors f ′ (x0 ) = f (x0 +h)−f
h
(x0 )
. Cette propriété est appelée la régularité de la dérivée.
Il est également possible de dériver une fonction de manière formelle, en utilisant les
limites de dérivation précédemment introduites. Cette démarche est particulièrement utile
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, lorsque la dérivation par règles ne peut pas être appliquée, par exemple pour dériver une
fonction implicite.
La différentiation permet également de trouver les points d’inflexion d’une fonction, c’est-
à-dire les points où la courbe représentative de la fonction change de concavité. Cela corre-
spond aux points où la dérivée seconde de la fonction est nulle.
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