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Continuité des fonctions réelles d'une fonction réelle
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chaymakarrarci
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CHAPITRE 13Continuité des fonctions réelles
d'une variable réelle
13.1 L'ensemble des applications d e D dans lR
13.1.l Propriétés algébriques
plications de D dans R On désigne momentanément par xR et + � le produit
Soit D un sous-ensemble non vide de R On note A(D, JR) l'ensemble des ap
et la somme dans le corps R
On munit A(D, JR) de 2 lois de composition interne + et x définies par
(V'(f, g) E A(D,JR.) 2 ) (V'x E D) (f + g) (x) = f(x) + il g (x) ,
(! x g) (x) = f(x) x" g(x) .
La loi + est une loi de composition interne sur A(D, JR) ayant les propriétés
suivantes :
1. elle est associative : V'(!, g, h) E A(D,JR.) 3 (! + g) + h = f + (g + h);
2. elle est commutative : V'(!, g) E A(D,JR.) 2 f + g = g + f ;
3. elle possède pour élément neutre l'application nulle :
ÛA(D,IR) : X E D� 0 E lR ;
4. tout élément f d e A(D, JR ) possède u n symétrique dans A(D, JR ) qui est
l'application notée f définie par : x E D� f(x) E R
- -
La loi x est une loi de composition interne sur A(D, JR) ayant les propriétés
suivantes :
5. elle est associative : V'(!, g, h) E A(D,JR.) 3 (f x g) x h = f x (g x h);
6. elle est distributive par rapport à la loi + :
V'(!, g, h) E A(D,JR.) 3 f X (g + h) = (!X g) + (!X h);
7. elle est commutative : V'(!, g) E A(D,JR.) 2 f x g = g x f;
8. elle possède pour élément neutre l'application : lA(D,JR) : x E D� 1 E R
,588 L'ensemble des applications de D dans ffi:
sition interne + et x par la proposition suivante.
On résume les propriétés qui viennent d'être énoncées pour les lois de comp o
PROPOSITION 13.1 L 'ensemble A(D, IR) muni des lois + et x est un an neau
commutat1·fi) .
Remarque L'ensemble structuré (A(D, IR) , + , x ) n'est pas un corps car une
fonction réelle n'a pas nécessairement de symétrique pour la loi x (voir la
proposition 13.3 ci-après) .
On munit également A(D, IR) d'une loi de composition externe définie p ar ·
(\:/f E A(D, IR) \:/).. E IR) (\:/x E D ( >. · J)(x)= >. x� f(x)).
Cette loi possède les propriétés suivantes :
9. \:/(f, g) E A(D, IR) 2 \:/).. E IR À · (f + g)= À·f + >.· g;
10. \:/f E A(D, IR ) \:/( >., µ ) E IR 2 ().. + R µ ) . f=).. . f + µ . fi
11. \:/f E A(D, IR ) \:/().. , µ ) E IR2 ( ).. X R µ ) . j=).. . (µ . j);
12. 1 . f=f.
On peut donc énoncer la proposition suivante.
PROPOSITION 13.2 L 'ensemble A(D, IR) muni de la loi de composition in
>
terne + et de la loi de composition externe est un espace vectorieP sur le
·
corps des réels.
Si on se restreint aux applications ne s'annulant en aucun point de l'ensemble D,
alors on peut définir un symétrique pour la loi x .
PROPOSITION 13.3 Si g E A(D, IR) vérifie (\:/x E D g(x) =/:- 0) alors g admet
un symétrique pour la loi produit x qui est l 'application notée 1 / g définie par
1
x E D f----t E IR.
g(x)
Remarques
l . Il ne faut pas utiliser la notation g-1 pour désigner le symétrique de g pour
la loi x. Cette notation est réservée pour désigner la bijection réciproque de 9
(lorsque celle-ci existe) .
2. On note l_ ou encore f /g, l'application f x 1 / g et f- g l'application f +(-g).
g
(!) La définition d'un anneau est donnée p. 66.
<2 > La définition d'un espace vectoriel est donnée p. 309.
, Continuité des fonctions réelles d'une variable réelle 589
DÉFINITION 13. 1 Soient f une application de D dansJR, J un sous- ensemble
de lR telle que f (D) c J et g une application de J dans R On appelle com-
posée des applications f et g, et on note go f, l 'application définie par<3>
x E D 1------> g(f(x)).
Remarque Il ne faut pas confondre l'application go f qui est la composée
des applications f et g et l'application fo g qui est la composée des applica
tions g et f. La composition d'applications n'est pas commutative. Ainsi, si
l'on considère
f : t E JR+ 1------> Vt et g : t E lR 1------> cos ( t )
alors go f : t E JR+ r---; cos (Vt) et
fo g : t E LJ [(4n - l H , (4n + l HJ 1------> Jcos ( t ) .
n EZ
On remarquera également que l'ensemble de définition de go f n'est pas obli
gatoirement identique à celui de f. On peut schématiser la composition des
applications f : D � lR et g : J � lR de la manière suivante
D � f (D) c J � lR
x 1------> y=f(x) 1------> z= g(y)= g(f(x))
Relation d'ordre sur A(D,JR)
4
On définit ( > sur A(D,JR) la relation � par
\f(f, g) E A(D,1R) 2 (! � g {::=:} (Vx E D f(x) � R g(x)) )
où � a désigne la relation d'ordre sur R
s
La relation � est une relation d 'ordre < > sur A(D,JR) :
- elle est réflexive : \ff E A(D,JR) f � f;
- elle est anti-symétrique : \f(f, g) E A(D,JR) 2 (f � g et g � f) ===? f= g;
- elle est transitive : V(f, g, h) E (A(D,JR) ) 3 (f � g et g � h) ===? f � h.
La relation � est une relation compatible avec les lois + et x :
(3)
(4) On a introduit les notations +R, X L< et ::::;R pour les lois et la relation d'ordre sur IR afin de
On pourra se reporter à la définition 2.18, page 40, et aux remarques qui lui font suite.
bien mettre en évidence la manière dont étaient définies les lois de composition internes et
la relation d'ordre sur A(D, IR) à partir des lois de composition internes et de la relation
d'ordre sur IR. Ultérieurement nous noterons+, x et ::::; les lois et la relation d'ordre sur IR,
le contexte permettant de décider s'il s'agit des lois sur IR ou sur A(D, IR).
(5) Voir la définit ion 3 .1 p. 94.
, 590 L'ensemble des applications de D dans IR
- \f(f, g, h) E(A(D,IR))3 (f� g ===? f + h � g + h);
- \f(f, g,h) E(A(D,IR))3 ( (!
� g) et ( �h) ===? j X h � g X h).
Ces propriétés découlent de manière directe des propriétés de la relation d'or dre�
"'�
dans IR, voir page 100.
<6l
La relation n'est pas une relation d'ordre total . En effet, considéron s les
applications f : x EIR f--> x et g : x EIR f--> x2 On a •
\fx E [ü , 1] f(x) �11 g(x) et \fx tf_ [O, 1] f(x) �11 g(x).
Par conséquent on n'a ni f� g, ni g�f sur R
Remarque On écrit aussi g � f au lieu de f � g. On définit également la
relation < sur A(D, IR) par
\f(f, g) EA(D,IR)2 (! < g {===? (Vx ED f(x) <" g(x)) )
et on écrit aussi g > f au lieu de f < g.
13.1.2 Monotonicité, parité et périodicité
Soit f une application de IR dans R
. .
0 n d it que f est paire s1.(7) : \-/vx E .ir;.
ll]) -x = x) . !( ) !(
La représentation graphique d'une fonction paire admet l'axe des ordonnées
comme axe de symétrie.
.
0 n d .it que f es t impaire.si : vx E .ir;.
.(7) \-/-x = - x) .
ll]) !( ) !(
La représentation graphique d'une fonction impaire admet l 'origine du repère
comme axe de symétrie.
s
On dit que f est périodique s 'il existe un réel T strictement positif tel que < )
't:/x EIR f(x + T) = f(x).
On appelle période ( fondamentale ) de f le plus petit réel T strictement positif,
9
s'il existe < l , satisfaisant la relation précédente.
(G) Voir la définition 3 . 2 p. 95 .
de la forme ] - b, b[, b E IR+ et à une application définie sur un ensemble de la forme
(7) Ces définitions se généralisent à une application définie sur un intervalle de centre 0
IR\] - b, b[, bE IR+.
(BJ Cette définition s'étend à une application définie sur un sous-ensemble D de IR tel que
V'xE IR (xE D ===? x+TE D).
(Q) Une fonction périodique n'admet pas nécessairement de période fondamentale. Con sidé
rons l'application
f:xEIR,____.
{
0 sixEIR\l()l ·
1 sixEl()l
Elle est périodique puisque si r est un rationnel alors d'une part pour tout x E i()l, on a
x+ r E i()l et f(x+r) = 1 = f(x) et d'autre part pour tout xE IR\l()l, on a x+r E IR\Q
et f(x+ r ) = 0 = f(x). Par contre elle n'admet pas de période ( fondamentale) puisque
la borne inférieure de l 'ensemble i()l+ est O.
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