Le cours d'analyse numérique est une discipline mathématique qui traite de la résolution de problèmes mathématiques en utilisant des méthodes numériques. Cette discipline est particulièrement importante dans les domaines de l'ingénierie, de la science et de la finance, où de nombreux prob...
p
Exemple 1.0.1 La quantité exacte: 2, 3/4, 2; e; ; log(3); sin(1); cos(3); :::::::
p
Exemple 1.0.2 La quantité approximative où valeur approchée: 3 ' 1:732; e '
2:718; ln(4) ' 1:386:::::
Dé…nition 1.0.1 Soient x un nombre donné et x une valeur approchée de ce
nombre.
1- si x >x, x est dite valeur approchée par excée.
2- si x <x, x est dite valeur approchée par défaut..
p p
Exemple 1.0.3 Considérons le nombre x = 2; on a 1:41 < 2 < 1:42; alors
x = 1:42 est une valeur approchée par excée, et x = 1:41 est une valeur approchée
par défaut.
1.1 Erreur absolue et relative
Dé…nition 1.1.1 On appelle erreur absolue, notée (x); d’un nombre approché x
d’une valeur exacte x, la valeur absolue de la di¤ érence :
(x) = jx xj (1.1.1)
3
, 1.1. Erreur absolue et relative
Si le nombre exact x est connu, on peut dé…nir l’erreur absolue, si x n’est pas
connu , l’erreur absolue n’est donc pas connue, et pour l’apprécier on introduit
la notion de majorant de l’erreur absolue.
Dé…nition 1.1.2 Soient x un nombre donné et x une valeur approchée de ce
nombre. On appelle majorant de l’erreur absolue (x) = jx x j tout nombre x
tel que :
x (x); i.e x x x x +x (1.1.2)
Exemple 1.1.1 soient x = le nombre exact et x = 3:14 le nombre approché de
x , trouver la borne d’erreur absolue?
puisque 3:14 < < 3:15, il vient j x j < 0:01; par conséquent ,on peut poser
x = 0:01; si l’on tient compte de ce qui 3:141 < < 3:142; une meillure estimation
est x = 0:001:
Remarque 1.1.1 1- Plus x est plus petite , plus l’approximation x est pré-
cise , donc toujour en pratique on prend la plus petite x possible (la bornne
supérieur).
2-on écrit : x = x x ou encore x ' x x , qui veut dire x 2 [x x; x +x ]
.
x1 +x2
3- si x1 et x2 sont tels que x1 x x2 , alors x = 2
est une approximation
de x avec un majorant
x2 x1
x = (1.1.3)
2
Dé…nition 1.1.3 L’erreur relative d’un nombre approchée x , notée (x) est le
rapport de l’erreur absolue et du module du nombre exact correspondant,
(x) jx x j
(x) = = (1.1.4)
jxj jxj
on a donc
(x) = jxj : (x) (1.1.5)
(x)
Dé…nition 1.1.4 Un majorant de l’erreur relative noté x (x) = jxj
donc
(x) jxj : x on peut prendre alors comme majorant de l’erreur absolue
x = jxj : x (1.1.6)
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