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analyse numerique (methode numerique)

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Cours
Analyse numerique 1

Établissement
University Blida 1

Le cours d'analyse numérique est une discipline mathématique qui traite de la résolution de problèmes mathématiques en utilisant des méthodes numériques. Cette discipline est particulièrement importante dans les domaines de l'ingénierie, de la science et de la finance, où de nombreux prob...

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Publié le 22 avril 2023
Nombre de pages 53
Écrit en 2019/2020
Type Notes de cours
Professeur(s) Boutagou
Contenu Toutes les classes

error analysis and propagation
numerical solutions to partial differential equations
numerical solutions to ordinary differential equations
interpolation and approximation
nonlinear equations and opti

Établissement
University blida 1
Cours
Analyse numerique 1

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Table des matières

Analyse numérique 1 2

1 Etude d’erreurs 3
1.1 Erreur absolue et relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Propagation des erreurs: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Notation decimales des nombres approchés . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Troncature d’un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Arrodissement d’un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Résolution d’équation non linéaires f(x)=0 12
2.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Séparation des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Méthode graphique: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Méthode de balayage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Méthodes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Méthode de dichotomie (où bissection) . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Méthode de point …xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.3 Points …xes attractifs et répulsifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.4 Méthode de Newton-Raphson (ou Newton ou des tangantes) 23
2.4.5 Méthode de Newton modi…eé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.6 Critére d’arret pour la méthode du Newton . . . . . . . . . . . 25

1

, TABLE DES MATIÈRES

2.4.7 Ordre d’une méthode numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Résolution de systémes linéaires 28
3.1 Algèbre linéaire: Les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 Normes vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Conditionnement d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Notion de préconditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Résolution d’un systéme par les méthodes de remontée ou de descente . . . . 35
3.5.1 Méthode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.2 Factorisation en un produit LU du systéme (3.4.1) . . . . . . . . . . . 37
3.5.3 Méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.4 Matices élémentaires de gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.5 Méthode de Gauss-Jordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5.6 Méthode de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6 Méthodes de résolution itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6.1 Critére d’arrét: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Bibliographie 51

2

, Chapitre 1

Etude d’erreurs

On a deux quantités :

p
Exemple 1.0.1 La quantité exacte: 2, 3/4, 2; e; ; log(3); sin(1); cos(3); :::::::

p
Exemple 1.0.2 La quantité approximative où valeur approchée: 3 ' 1:732; e '
2:718; ln(4) ' 1:386:::::

Dé…nition 1.0.1 Soient x un nombre donné et x une valeur approchée de ce
nombre.
1- si x >x, x est dite valeur approchée par excée.
2- si x <x, x est dite valeur approchée par défaut..

p p
Exemple 1.0.3 Considérons le nombre x = 2; on a 1:41 < 2 < 1:42; alors
x = 1:42 est une valeur approchée par excée, et x = 1:41 est une valeur approchée
par défaut.

1.1 Erreur absolue et relative
Dé…nition 1.1.1 On appelle erreur absolue, notée (x); d’un nombre approché x
d’une valeur exacte x, la valeur absolue de la di¤ érence :

(x) = jx xj (1.1.1)

3

, 1.1. Erreur absolue et relative

Si le nombre exact x est connu, on peut dé…nir l’erreur absolue, si x n’est pas
connu , l’erreur absolue n’est donc pas connue, et pour l’apprécier on introduit
la notion de majorant de l’erreur absolue.

Dé…nition 1.1.2 Soient x un nombre donné et x une valeur approchée de ce
nombre. On appelle majorant de l’erreur absolue (x) = jx x j tout nombre x

tel que :
x (x); i.e x x x x +x (1.1.2)

Exemple 1.1.1 soient x = le nombre exact et x = 3:14 le nombre approché de
x , trouver la borne d’erreur absolue?
puisque 3:14 < < 3:15, il vient j x j < 0:01; par conséquent ,on peut poser
x = 0:01; si l’on tient compte de ce qui 3:141 < < 3:142; une meillure estimation
est x = 0:001:

Remarque 1.1.1 1- Plus x est plus petite , plus l’approximation x est pré-
cise , donc toujour en pratique on prend la plus petite x possible (la bornne
supérieur).
2-on écrit : x = x x ou encore x ' x x , qui veut dire x 2 [x x; x +x ]
.
x1 +x2
3- si x1 et x2 sont tels que x1 x x2 , alors x = 2
est une approximation
de x avec un majorant
x2 x1
x = (1.1.3)
2
Dé…nition 1.1.3 L’erreur relative d’un nombre approchée x , notée (x) est le
rapport de l’erreur absolue et du module du nombre exact correspondant,
(x) jx x j
(x) = = (1.1.4)
jxj jxj
on a donc
(x) = jxj : (x) (1.1.5)
(x)
Dé…nition 1.1.4 Un majorant de l’erreur relative noté x (x) = jxj
donc
(x) jxj : x on peut prendre alors comme majorant de l’erreur absolue

x = jxj : x (1.1.6)

4

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