UPHF - INSA HdF Licence Mathématiques
2ème année - Semestre 4 année 21/22
Unité d’enseignement : Algèbre 4P
Cours : Chap I
Rappels et compléments sur les endomorphismes d’espace vectoriel
1 Notations
Dans tout ce chapitre, on considère le corps commutatif K = R ou C et un K-espace vectoriel E de dimension
finie ≥ 1. On note 0E l’élément neutre de l’addition dans E.
L(E) désigne l’ensemble des applications linéaires de E dans E, que l’on appelle aussi les endomorphismes
de l’espace vectoriel E.
On rappelle que, muni des opération usuelles -internes- d’addition et de composition, L(E) est un anneau
non commutatif, et que, muni des opérations usuelles d’addition et de multiplication par un scalaire dans K,
L(E) est un espace vectoriel.
On note idE l’application identique de E dans E et 0L(E) l’application nulle de E dans E.
Étant donné n ∈ N \ {0, 1}, on désigne par Mn (K) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n, à coefficients
dans K.
On rappelle que, muni des opération usuelles -internes- d’addition et de multiplication, Mn (K) est un anneau
non commutatif, et que, muni des opérations usuelles d’addition et de multiplication par un scalaire dans K,
Mn (K) est un espace vectoriel.
On note In la matrice identité d’ordre n et 0n la matrice nulle d’ordre n.
Étant donné u ∈ L(E), χu représente le polynôme caractéristique de u, Eu (λ) le sous-espace propre de u
associé à la valeur propre λ ∈ K, mu (λ) la multiplicité de la valeur propre λ et specK (u) l’ensemble des
valeurs propres de u dans K. Cependant, on notera spec(u) cet ensemble en l’absence de toute ambiguı̈té sur
le corps dans lequel on cherche les valeurs propres de u.
On note πu le polynôme minimal de u.
Des notation parfaitement similaires seront utilisées pour les mêmes notions relatives à une matrice carrée.
Ces notations seront conservées dans les chapitres suivants de ce cours.
2 Rappels de résultats qui relèvent du programme du semestre 3
Théorème 1 : [Théorème de Cayley-Hamilton]
Si u ∈ L(E), alors χu (u) = 0L(E) . Et, de manière équivalente, si A ∈ Mn (K), alors χA (A) = 0n .
Théorème-Définition 2 : [Caractérisations de la diagonalisabilité]
Soit u ∈ L(E). Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) Il existe une base de E composée de vecteurs propres de u.
(ii) Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale.
(iii) Le polynôme χu est scindé dans K[X] et ∀λ ∈ specK (u), dim(Eu (λ)) = mu (λ).
(iv) Il existe un polynôme scindé dans K, à racines simples, annulant u.
(v) Le polynôme πu est scindé dans K, à racines simples.
Si l’endomorphisme u vérifie l’une de ces propriétés on dit qu’il est ::::::::::::
diagonalisable.
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2ème année - Semestre 4 année 21/22
Unité d’enseignement : Algèbre 4P
Cours : Chap I
Rappels et compléments sur les endomorphismes d’espace vectoriel
1 Notations
Dans tout ce chapitre, on considère le corps commutatif K = R ou C et un K-espace vectoriel E de dimension
finie ≥ 1. On note 0E l’élément neutre de l’addition dans E.
L(E) désigne l’ensemble des applications linéaires de E dans E, que l’on appelle aussi les endomorphismes
de l’espace vectoriel E.
On rappelle que, muni des opération usuelles -internes- d’addition et de composition, L(E) est un anneau
non commutatif, et que, muni des opérations usuelles d’addition et de multiplication par un scalaire dans K,
L(E) est un espace vectoriel.
On note idE l’application identique de E dans E et 0L(E) l’application nulle de E dans E.
Étant donné n ∈ N \ {0, 1}, on désigne par Mn (K) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n, à coefficients
dans K.
On rappelle que, muni des opération usuelles -internes- d’addition et de multiplication, Mn (K) est un anneau
non commutatif, et que, muni des opérations usuelles d’addition et de multiplication par un scalaire dans K,
Mn (K) est un espace vectoriel.
On note In la matrice identité d’ordre n et 0n la matrice nulle d’ordre n.
Étant donné u ∈ L(E), χu représente le polynôme caractéristique de u, Eu (λ) le sous-espace propre de u
associé à la valeur propre λ ∈ K, mu (λ) la multiplicité de la valeur propre λ et specK (u) l’ensemble des
valeurs propres de u dans K. Cependant, on notera spec(u) cet ensemble en l’absence de toute ambiguı̈té sur
le corps dans lequel on cherche les valeurs propres de u.
On note πu le polynôme minimal de u.
Des notation parfaitement similaires seront utilisées pour les mêmes notions relatives à une matrice carrée.
Ces notations seront conservées dans les chapitres suivants de ce cours.
2 Rappels de résultats qui relèvent du programme du semestre 3
Théorème 1 : [Théorème de Cayley-Hamilton]
Si u ∈ L(E), alors χu (u) = 0L(E) . Et, de manière équivalente, si A ∈ Mn (K), alors χA (A) = 0n .
Théorème-Définition 2 : [Caractérisations de la diagonalisabilité]
Soit u ∈ L(E). Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) Il existe une base de E composée de vecteurs propres de u.
(ii) Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale.
(iii) Le polynôme χu est scindé dans K[X] et ∀λ ∈ specK (u), dim(Eu (λ)) = mu (λ).
(iv) Il existe un polynôme scindé dans K, à racines simples, annulant u.
(v) Le polynôme πu est scindé dans K, à racines simples.
Si l’endomorphisme u vérifie l’une de ces propriétés on dit qu’il est ::::::::::::
diagonalisable.
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