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Cours II - Dualité en dimension finie
- Cours
- Algèbre
- Établissement
- Valenciennes (UV)
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UPHF - INSA HdF Licence Mathématiques2ème année - Semestre 4 année 21/22
Unité d’enseignement : Algèbre 4P
Cours : Chap II
Dualité en dimension finie
Dans tout ce chapitre, on considère un corps commutatif K = R ou C et un K-espace vectoriel E de dimension
finie n ≥ 1.
On désignera par B = (ei )1≤i≤n une base de E.
1 Formes linéaires, espace dual
Définitions 1 : On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K.
:::::::::::::::::
Le K-espace vectoriel (pour les opérations d’addition et de multiplication externe habituelles) formé de
toutes les formes linéaires sur E est appelé ::::::
espace ::::
dual:::
de :::::::
l’espace::
E.
On note E ⋆ = L(E, K) l’espace dual de E.
Remarque 2 :
Exemples 3 :
Définition 4 : On dit qu’un sous-espace vectoriel H de E est un hyperplan de E s’il admet une droite
:::::::::::::
vectorielle comme supplémentaire.
Autrement dit, un hyperplan de E est un sous-espace vectoriel de E de dimension n − 1.
Théorème 5 : Étant donné φ ∈ E ⋆ \ {0E ⋆ }, son noyau Kerφ est un hyperplan de E.
Réciproquement, si H est un hyperplan de E, il existe une forme linéaire non nulle φ telle que H = Ker φ.
Preuve :
Exemples 6 :
2 Base duale d’une base de E
Proposition-Définitions 7 : On appelle ::::::
formes:::::::::::
coordonnées:::::
dans::B, et on note e⋆1 , · · · , e⋆n , les formes
linéaires sur E définies par :
⋆ 1 , si i = j ,
∀i ∈ [[1, n]] , ei (ej ) =
0 , sinon .
La famille B ⋆ = (e⋆i )1≤i≤n , formée des formes coordonnées dans B, est une base de l’espace dual E ⋆ que l’on
appelle base duale de la base B.
::::::::::::::::::::
Preuve :
Remarques 8 :
Exemples 9 :
1
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