Notes de cours
Cours IV - Réduction des endomorphismes dans un espace euclidien
- Cours
- Algèbre
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- Valenciennes (UV)
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UPHF - INSA HdF Licence Mathématiques2ème année - Semestre 4 année 21/22
Unité d’enseignement : Algèbre 4P
Cours : Chap IV
Réduction des endomorphismes dans un espace euclidien
Dans tout ce chapitre, on note (E, ⟨. , .⟩) un espace euclidien de dimension n ≥ 1.
1 Adjoint d’un endomorphisme
Théorème-Définition 1 : Soit u ∈ L(E).
Il existe un unique endomorphisme de E, appelé ::::::
adjoint::: u, et noté u∗ , tel que
de ::
∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨u(x), y⟩ = ⟨x, u∗ (y)⟩.
Preuve :
Proposition 2 : L’application
φ : L(E) −→ L(E) , u 7−→ u∗
est linéaire et involutive. C’est-à-dire que φ ◦ φ = idL(E) .
Preuve :
Proposition 3 : Soit u un endomorphisme de E.
On a :
(i) ∀v ∈ L(E) , (u ◦ v)∗ = v ∗ ◦ u∗ .
(ii) Ker(u∗ ) = (Im(u))⊥ et Im(u∗ ) = (Ker(u))⊥ .
(iii) Les endomorphismes u et u∗ ont le même rang.
Preuve :
Proposition 4 : Soit u un endomorphisme de E.
Si B est une base orthonormale de E, alors on a :
matB (u∗ ) = tmatB (u).
Et on en déduit que u et u∗ ont le même polynôme caractéristique, et donc le même déterminant et le même
spectre.
Preuve :
2 Endomorphismes auto-adjoints (ou symétriques)
Définition 5 : Un endomorphisme u : E −→ E est dit ::::::::::
autoadjoint ou symétrique
:::::::::
si u = u∗ ,
ou encore
∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨u(x), y⟩ = ⟨x, u(y)⟩.
Définition 6 : Un endomorphisme u : E −→ E est dit antisymétrique
:::::::::::::
si u = −u∗ , ou encore
∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨u(x), y⟩ = −⟨x, u(y)⟩.
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