Autre
FICHE TD4 Réduction des endomorphismes des espaces euclidiens
- Cours
- Algèbre
- Établissement
- Valenciennes (UV)
Vous trouverez ici une fiche de TD concernant la réduction des endomorphismes des espaces euclidiens
[Montrer plus]
Vendeur
S'abonner
Aperçu du contenu
UPHF-INSA HdFLicence Mathématiques - 2ème année - Semestre 4 année 21/22
Unité d’enseignement : Algèbre 4
Fiche de TD n˚4 : Réduction des endomorphismes dans un espace euclidien
Tous les espaces euclidiens considérés dans cette fiche d’exercices seront supposés avoir une dimension ≥ 1.
Exercice 1
Soit f un endomorphisme auto-adjoint (ou ”symétrique”) d’un espace vectoriel euclidien E.
Montrer que les sous-espaces vectoriels Imf et Kerf de E sont orthogonaux et supplémentaires.
Exercice 2
Soit E un espace euclidien et soit p un projecteur de E. Montrer que
p est autoadjoint ⇐⇒ p est un projecteur orthogonal.
Exercice 3
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, muni d’une base orthonormée B = (i, j, k).
Soit p ∈ L(E) défini, comme suit, par la matrice qui lui est associée dans la base B.
5 −2 1
1
M = M atB (p) = −2 2 2 .
6
1 2 5
Montrer que p est une projection orthogonale sur un plan dont on déterminera une équation.
Exercice 4 [DS mai 2021]
On se place dans un espace euclidien (E, h. , . i).
Soit h une isométrie de E (on dit : aussi automorphisme orthogonal de E).
1) Montrer que les seules valeurs propres réelles possibles de h sont -1 et 1.
2) On suppose que h est diagonalisable. Montrer que h est une symétrie.
Indication : On peut utiliser la matrice A de h dans une base orthonormée B de E, formée de
vecteurs propres de h, c’est-à-dire : A=matB (h).
Exercice 5
Quels sont les isométries vectorielles auto-adjointes d’un espace vectoriel euclidien E ?
Indication : Calculer le carré de la matrice associée à un tel endomorphisme dans une base ortho-
normale.
1
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur abelnezla. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour 6,49 €. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
77988 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans