UPHF-INSA HdF
Licence Mathématiques - 2ème année - Semestre 4 année 21/22
Unité d’enseignement : Algèbre 4
Fiche de TD n˚4 : Réduction des endomorphismes dans un espace euclidien
Tous les espaces euclidiens considérés dans cette fiche d’exercices seront supposés avoir une dimension ≥ 1.
Exercice 1
Soit f un endomorphisme auto-adjoint (ou ”symétrique”) d’un espace vectoriel euclidien E.
Montrer que les sous-espaces vectoriels Imf et Kerf de E sont orthogonaux et supplémentaires.
Exercice 2
Soit E un espace euclidien et soit p un projecteur de E. Montrer que
p est autoadjoint ⇐⇒ p est un projecteur orthogonal.
Exercice 3
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, muni d’une base orthonormée B = (i, j, k).
Soit p ∈ L(E) défini, comme suit, par la matrice qui lui est associée dans la base B.
5 −2 1
1
M = M atB (p) = −2 2 2 .
6
1 2 5
Montrer que p est une projection orthogonale sur un plan dont on déterminera une équation.
Exercice 4 [DS mai 2021]
On se place dans un espace euclidien (E, h. , . i).
Soit h une isométrie de E (on dit : aussi automorphisme orthogonal de E).
1) Montrer que les seules valeurs propres réelles possibles de h sont -1 et 1.
2) On suppose que h est diagonalisable. Montrer que h est une symétrie.
Indication : On peut utiliser la matrice A de h dans une base orthonormée B de E, formée de
vecteurs propres de h, c’est-à-dire : A=matB (h).
Exercice 5
Quels sont les isométries vectorielles auto-adjointes d’un espace vectoriel euclidien E ?
Indication : Calculer le carré de la matrice associée à un tel endomorphisme dans une base ortho-
normale.
1
Licence Mathématiques - 2ème année - Semestre 4 année 21/22
Unité d’enseignement : Algèbre 4
Fiche de TD n˚4 : Réduction des endomorphismes dans un espace euclidien
Tous les espaces euclidiens considérés dans cette fiche d’exercices seront supposés avoir une dimension ≥ 1.
Exercice 1
Soit f un endomorphisme auto-adjoint (ou ”symétrique”) d’un espace vectoriel euclidien E.
Montrer que les sous-espaces vectoriels Imf et Kerf de E sont orthogonaux et supplémentaires.
Exercice 2
Soit E un espace euclidien et soit p un projecteur de E. Montrer que
p est autoadjoint ⇐⇒ p est un projecteur orthogonal.
Exercice 3
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, muni d’une base orthonormée B = (i, j, k).
Soit p ∈ L(E) défini, comme suit, par la matrice qui lui est associée dans la base B.
5 −2 1
1
M = M atB (p) = −2 2 2 .
6
1 2 5
Montrer que p est une projection orthogonale sur un plan dont on déterminera une équation.
Exercice 4 [DS mai 2021]
On se place dans un espace euclidien (E, h. , . i).
Soit h une isométrie de E (on dit : aussi automorphisme orthogonal de E).
1) Montrer que les seules valeurs propres réelles possibles de h sont -1 et 1.
2) On suppose que h est diagonalisable. Montrer que h est une symétrie.
Indication : On peut utiliser la matrice A de h dans une base orthonormée B de E, formée de
vecteurs propres de h, c’est-à-dire : A=matB (h).
Exercice 5
Quels sont les isométries vectorielles auto-adjointes d’un espace vectoriel euclidien E ?
Indication : Calculer le carré de la matrice associée à un tel endomorphisme dans une base ortho-
normale.
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