Examen
DS Algèbre L2 MATHS 16 mars 2021
- Cours
- Algèbre
- Établissement
- Valenciennes (UV)
Vous trouverez ici un DS d'algèbre de niveau Licence 2 maths
[Montrer plus]
Vendeur
S'abonner
Aperçu du contenu
UPHF - INSA HdFlicence 2 Mathématiques - Semestre 4 Année 20-21
UE Algèbre 4P
Devoir surveillé du 16 mars 2021
Durée : 2 heures
Les calculatrices et les documents sont interdits.
À titre d’indication, il est donné pour chaque exercice du sujet le nombre approximatif de points qui lui sera attribué
lors de la correction.
Il sera accordé une grande importance dans l’évaluation des réponses à la rigueur et à la qualité de la rédaction.
Exercice 1 [5 points]
Soit E un R-espace vectoriel, non réduit à {0E }, de dimension finie, et soit u un endomorphisme de E.
On suppose que u3 = u2 , u 6= idE , u2 6= 0L(E) et u2 6= u.
1) Déterminer le polynôme minimal de u, noté πu .
2) Donner le spectre de u, noté spec(u).
3) Justifier que u n’est pas diagonalisable.
Exercice 2 [5,5 points]
Soit le R-espace vectoriel E = R2 [X], muni de ses deux opérations habituelles.
∗
1) On note C la base canonique de E et C ∗ = (1∗ , X ∗ X 2 ) sa base duale.
Donner les images d’un polynôme P ∈ E par les formes linéaires qui composent la base C ∗ .
2) On considère les formes linéaires φ1 , φ2 , φ3 , définies par :
Z 1
∀P ∈ E , φ1 (P ) = P (1) , φ2 (P ) = P 0 (1) , φ3 (P ) = P (t)dt.
0
Montrer que la famille B ∗ = {φ1 , φ2 , φ3 } est une base de l’espace dual de E, noté E ∗ .
Exercice 3 [6 points]
Soient un nombre entier n ≥ 2 et E = Mn (R) le R-espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre n
muni des deux opérations habituelles.
On considère l’application
ψ : E 2 −→ R , (X, Y ) 7−→ tr (t XY ),
où tr est l’application qui à une matrice associe sa trace et où tX désigne la transposée de X.
1) On considère dans cette question une matrice A carré réelle d’ordre 2.
Montrer que : A 6= 02 =⇒ tr(tAA) > 0.
Vous admettrez que ce résultat se généralise à des matrices carrées réelles d’ordre n quelconque.
2) Montrer que ψ est un produit scalaire sur E.
Énoncez clairement les propriétés de l’application trace que vous utiliserez dans votre réponse.
1
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur abelnezla. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour 6,49 €. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
80796 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans