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Rappels sur les espace vectoriels
Définition
Un espace vectoriel sur un corps 1K est un triplet ( V
,
+, .
) OÙ
•
V est un ensemble
+ est une opération interne Vxv →
v est appelé addition
•
est opération externe IKXV →
v appelé multiplication par scalaire
• .
une un
tq I .
Ku ,
v ,
w E V
,
u + Cv + w ) =
( u + v ) + w
2. 70 C- V
,
tu C- V
,
V + 0
=
0 tu
=
✓
KV E Z V
tq
=
3. V W E ✓ + w W tu =
0
,
4 Fr
t
E V
=
W W tu v + w
,
.
,
5. tt
, µ C- 1K tu c- V
,
X . (µ V ) =
( ✗µ) . ✓
,
.
6 FV E V 1 V -
=
V
,
.
.
7. V1 E IK HVEV, (✗ +
µ) V ✗ v + µ ✓
µ
=
-
,
- .
,
8. KX C- 1K
,
Kv ,
w E V
,
X .
(✓ + w ) =
✗ ✓ .
+ ✗ .
W
-
l Les
génériques
:
.
"
•
Les IR -
espaces vectoriels
:
Rn ,
R [ ×] ,
IRN ,
c ( [ 0,1 ] , IR ) . .
"
•
Les 1k -
espaces vectoriels :
1km
,
1K [ ×] ,
IKN ,
E
2. Des choses que vous avez déjà croisées
Le ¢ espace vectoriel des fonctions périodiques IR à valeurs dans ¢
•
-
sur .
•
Le R -
espace vectoriel ¢ ,
les Q -
espaces vectoriels ☒ [i] , ☒ [ F2 ]
Définition
_
Une base d' une 1K -
espace vectoriel V est une famille ( ei ) de vecteurs de
V
tq
:
ttx c- V il existe une unique famille de scalaires ( ti ) d' éléments de
1K dt seul un nb fini d' ④ émts est non nul et
✗
Exjej
=
Théorème
-
Tout IK espace vectoriel admet des bases
-
Définition
On appelle dimension d' un 1K -
espace vectoriel le cardinal commun de ses bases
]
Exemple : "
1km est un 1K -
espace vectoriel de dimension n
¢ clim dim
☐
est un ¢ -
esp . rect .
de 1 mais IR -
espace rect .
de 2 .
☐ 1kW est un 1K -
espace vectoriel de dimension infinie
, 2
Rappels sur les applications linéaires
Définition
-
Une application UK -
linéaire ) entre 2 K -
esp .
rect .
V, W est une application
f- :
✓ → w
tq
> × C- V f- ( ✗ + ) =
f- ( x) t f- ( y )
, y , y
>
FX E IK FX E V FCN ) =
✗ f- [ × )
, ,
-
Qd les 1K espaces vectoriels V et W dim finies de taille ( mm )
→
-
sont n
,
m matrice
M
=
[ f- (
Vj ) i ] des coordonnées des Fcvj ) dans la base (Wi ) i
ij
Fx =
MX
Théorème
.
L' application Q :
Lik ( V , W) →
M.mn ( IK )
f-
→
Mu , w (f)
envoie F matrice dans les bases V W est un isomphisme
qui sur sa
,
3
Rappel de réduction
Définition
-
Soit f V
endomorphisme On valeur de F tt
→
appelle ✗ Elk
:
v un .
propre
lequel f- ( )
il existe ✗ =/ 0
tq ✗×
=
pour x
Un vecteur satisfait la relation dessus est dit
✗
qui ci vecteur propre
-
de F associé à la valeur propre × .
Les valeurs propres sont les racines Xfct)
=
det ( MF -
ti )
Diagonaliser un
endomorphisme F revient a- trouver une base ( ui ) i de ✓
constituer de valeurs propres .
On sait que F est
diagonalisable
:
•
si XF est scindé à racines simples
F matrice
si admet symétrique
•
une
Théorème -
F
Un endomorphisme sur 1K espace vectoriel est
trigonal isable Ssi ✗f scindé sur 1k
-
Rappels sur les espace vectoriels
Définition
Un espace vectoriel sur un corps 1K est un triplet ( V
,
+, .
) OÙ
•
V est un ensemble
+ est une opération interne Vxv →
v est appelé addition
•
est opération externe IKXV →
v appelé multiplication par scalaire
• .
une un
tq I .
Ku ,
v ,
w E V
,
u + Cv + w ) =
( u + v ) + w
2. 70 C- V
,
tu C- V
,
V + 0
=
0 tu
=
✓
KV E Z V
tq
=
3. V W E ✓ + w W tu =
0
,
4 Fr
t
E V
=
W W tu v + w
,
.
,
5. tt
, µ C- 1K tu c- V
,
X . (µ V ) =
( ✗µ) . ✓
,
.
6 FV E V 1 V -
=
V
,
.
.
7. V1 E IK HVEV, (✗ +
µ) V ✗ v + µ ✓
µ
=
-
,
- .
,
8. KX C- 1K
,
Kv ,
w E V
,
X .
(✓ + w ) =
✗ ✓ .
+ ✗ .
W
-
l Les
génériques
:
.
"
•
Les IR -
espaces vectoriels
:
Rn ,
R [ ×] ,
IRN ,
c ( [ 0,1 ] , IR ) . .
"
•
Les 1k -
espaces vectoriels :
1km
,
1K [ ×] ,
IKN ,
E
2. Des choses que vous avez déjà croisées
Le ¢ espace vectoriel des fonctions périodiques IR à valeurs dans ¢
•
-
sur .
•
Le R -
espace vectoriel ¢ ,
les Q -
espaces vectoriels ☒ [i] , ☒ [ F2 ]
Définition
_
Une base d' une 1K -
espace vectoriel V est une famille ( ei ) de vecteurs de
V
tq
:
ttx c- V il existe une unique famille de scalaires ( ti ) d' éléments de
1K dt seul un nb fini d' ④ émts est non nul et
✗
Exjej
=
Théorème
-
Tout IK espace vectoriel admet des bases
-
Définition
On appelle dimension d' un 1K -
espace vectoriel le cardinal commun de ses bases
]
Exemple : "
1km est un 1K -
espace vectoriel de dimension n
¢ clim dim
☐
est un ¢ -
esp . rect .
de 1 mais IR -
espace rect .
de 2 .
☐ 1kW est un 1K -
espace vectoriel de dimension infinie
, 2
Rappels sur les applications linéaires
Définition
-
Une application UK -
linéaire ) entre 2 K -
esp .
rect .
V, W est une application
f- :
✓ → w
tq
> × C- V f- ( ✗ + ) =
f- ( x) t f- ( y )
, y , y
>
FX E IK FX E V FCN ) =
✗ f- [ × )
, ,
-
Qd les 1K espaces vectoriels V et W dim finies de taille ( mm )
→
-
sont n
,
m matrice
M
=
[ f- (
Vj ) i ] des coordonnées des Fcvj ) dans la base (Wi ) i
ij
Fx =
MX
Théorème
.
L' application Q :
Lik ( V , W) →
M.mn ( IK )
f-
→
Mu , w (f)
envoie F matrice dans les bases V W est un isomphisme
qui sur sa
,
3
Rappel de réduction
Définition
-
Soit f V
endomorphisme On valeur de F tt
→
appelle ✗ Elk
:
v un .
propre
lequel f- ( )
il existe ✗ =/ 0
tq ✗×
=
pour x
Un vecteur satisfait la relation dessus est dit
✗
qui ci vecteur propre
-
de F associé à la valeur propre × .
Les valeurs propres sont les racines Xfct)
=
det ( MF -
ti )
Diagonaliser un
endomorphisme F revient a- trouver une base ( ui ) i de ✓
constituer de valeurs propres .
On sait que F est
diagonalisable
:
•
si XF est scindé à racines simples
F matrice
si admet symétrique
•
une
Théorème -
F
Un endomorphisme sur 1K espace vectoriel est
trigonal isable Ssi ✗f scindé sur 1k
-
