Résumé en brevet pour les maths

Partie numérique
Nombre réel
Les nombres rationnels et irrationnels constituent un ensemble désigné par R et appelé ensemble des nombres réels.

25
3
- 8,5 324
- 
- 90 1,69
170 49
13
0 9 8
9 8 3
1 3 - 16 - 6,25 145
21 4
24
-6 7
2
3,7 30
25

1 9

6

Les Entiers
Naturels Les Entiers Les
Relatifs Les Nombres Les
Nombres rationnels Nombres
Décimaux irrationnels




Les Nombres réels
PPCM
Le P.P.C.M de deux entiers naturels est le produit des facteurs premiers de chacun des deux nombres, chaque facteur
commun étant pris avec le plus grand exposant.
Pour calculer le P.P.C.M de 200 et 75, on décompose ces deux nombres en facteurs premiers:
200 2 75 3
100 2 25 5
50 2 5 5
25 5 1
5 5
1
200 = 23 × 52 75 = 3 × 52
Alors le P.P.C.M (200; 75) =23 × 3 × 52= 600.
PGCD
Le P.G.C.D de deux entiers naturels est le produit des facteurs premiers communs aux deux nombres, pris chacun avec
le plus petit exposant. Pour calculer le P.G.C.D de 200 et 75, on décompose ces deux nombres en facteurs premiers:
200 2 75 3
100 2 25 5
50 2 5 5
25 5 1
5 5
1
200 = 23 ×52 75 = 3 × 52
Alors le P.G.C.D (200 ; 75) = 52 = 25.

,Puissance
Formules Exemple
a  a
x
a a
 a
a a
 a...
 3 × 3 × 3 × 3 = 34 = 81
x fois

a0 = 1 260 = 1
1 1
a-x = (avec a ≠ 0) 9-7 = 7
ax 9
ax × ay = ax+y 8 × 8 2 = 8 3+ 2 = 8 5 = 32768
3

ax × bx = (a × b) x 2 3 × 9 3 = (2 × 9) 3 = (18) 3 =5832.
(a x) y = ax×y (5 3) 2 = 5 3 × 2 = 5 6 = 15625
ax 35
= ax-y (avec a ≠ 0) = 3 5 - 2 = 33 = 27
ay 32
x 3
ax  a  63  6 
=  = 
bx  b  83  8 
(a + b)2 ≠ a2 + b2 (2 + 3)2 = 52 = 25
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 (x + 2) 2 = x2 + 4x + 4

Notation scientifique
Écrire un nombre en notation scientifique, c’est l’écrire sous la forme a × 10n où a est un décimal ayant un
seul chiffre avant la virgule autre que zéro (dans la partie entière) et n est un entier relatif.
-4
Ex: 5280000 = 5,28 × 10; 0,00032 = 3,2 × 10 ; 35,6 = 3,56 × 101.

Valeur approchée d’un quotient
Par excès
Valeur approchée du quotient Par défaut
(on ajoute 1 au dernier chiffre)
A l’unité 12 13
Au dixième (0,1 près) 12,6 12,7
Au centième (0,01 près) 12,62 12,63

21- Comment arrondir un nombre?
Pour arrondir un nombre décimal, on coupe au rang désigné (unité, dixième, centième,…), puis:
 Si le chiffre qui suit est inférieur à 5, l’arrondi est le nombre tronqué.
 Si le chiffre qui suit est supérieur ou égale à 5, on ajoute 1 au dernier chiffre du nombre tronqué.
47,638



Troncature Arrondi
A l’unité 47 Après le 7, il y a ‘6’donc 48 A l’unité
Au dixième 47,6 Après le 6, il y a ‘3’donc 47,6 Au dixième
Au centième 47,63 Après le 3, il y a ‘8’donc 47,64 Au centième


Identités remarquables
 a2 – b2 = (a + b) (a – b)
 (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
 (a - b) 2 = a2 - 2ab + b2

, Racine carré
Formules Exemple
 a si a  0 36 = │±6│= 6
a 2 = │a│ = 
  a si a  0  62 = │-6│= 6.
 a 2
= a 2 = │a│  5 =
2
52 = 5
c  a 2b  a b 27  9  3  3 2  3  3 3
Pour multiplier (diviser) deux racines, on multiplie (divise) les
nombres sous les racines : 3 × 7 = 37 = 21
a × b = ab
a a 8
a ÷ b = = 8÷ 2=  4 2
b b 2
On peut additionner (soustraire) deux racines à condition que
les nombres sous les racines soient identiques: 2  3 2  (1  3) 2  4 2
m a  n a  m  n a Attention : 5  3  53


Rendre rationnel le dénominateur d’une fraction?
1er cas : Expression à radical simple
a a b 5 5 7 5 7
 = × Ex : = × =
b b b 7 7 7 7
2ème cas : Expression ayant au dénominateur une somme irrationnel


a
=
a b c  
b c 
b c b c  

a
=
a b c  
b c  b c b c  
2 2
3 2 32 55 2 3 2 5 2 3 2 5
Ex: = = = =
3 5  3 5 3 5 
2
3  5
2
    
35 2


a
=

a b c 
b c  b c b c  
Ex:
6
=
6 52 =
6 5  12
=
6 5  12 6 5  12
= .
5 2  5 2 5 2 
2
5 2 2   
25  4 21

Expression fractionnaire définie
Une expression fractionnaire est définie (ou a un sens) lorsque son dénominateur est non nul (≠ 0).
3x
Ex: est définie pour 6 + x  0 alors x  - 6.
6 x
x2  9
est définie pour que 7 - x  0 et x  3  o
(7  x)(x  3)
alors x  7 et x  3