Hoorcollege 2

HC 2 – Beschrijvende  toetsende statistiek

Normale verdeling, z-scores en kansen

 Normale verdeling:
 Waarom belangrijk?
 Geeft inzicht in verdeling kenmerk in de populatie.
 De basis voor veel statistische analyses.
 Met weinig info kunnen we best veel doen.
 Normale verdeling heeft twee parameters:
 Een centrummaat: het gemiddelde.
 Een spreidingsmaat: de standaardafwijking.
 Kenmerken:
 Kansverdeling.
 Beschreven door mu en sigma.
 Symmetrisch.
 Mediaan en gemiddelde zijn gelijk.
 Staart is asymptotisch (nadert 0 aan het einde).
 Empirische regel: tussen 1 standaardafwijking onder het gemiddelde en 1 standaardafwijking
boven het gemiddelde zit ongeveer 68,2% van de waardes. Tussen 2 standaardafwijkingen
onder het gemiddelde en 2 standaardafwijkingen boven het gemiddelde zit ongeveer 95,4%
van de waardes. Tussen 3 standaardafwijkingen onder het gemiddelde en 3
standaardafwijkingen boven het gemiddelde zit ongeveer 99,7% van de waardes.
 Cijfers M&T I: bij benadering ‘normaal’ verdeeld.
 Hoogste geobserveerde cijfer (het maximum) was bijvoorbeeld 8,9.
 Lager dan de +2sigma (9,0).
 In de praktijk zijn kenmerken zelden perfect normaal verdeeld.
 Maar over algemeen handig om mee te rekenen.
 Niet-normaal verdeeld: linksscheef en rechtscheef.
 Rechtsscheef: mediaan< gemiddelde.
 Normaal verdeeld (symmetrisch): mediaan = ongeveer het gemiddelde.
 Linksscheef: mediaan> gemiddelde.
 Scheve verdelingen vragen soms om andere benadering (link).
 In deze cursus gaan we uit van normale verdeling.
 Z-score:
 Wat is mijn positie in de normale verdeling? Hoe heb ik het gedaan ten opzichte van anderen?
 Z-scores!  berekenen van gestandaardiseerde score.
 Z-scores hebben altijd dezelfde betekenis.
 (onder assumptie van normale verdeling).
 Gemiddelde = 0.
 Standaardafwijking = 1.
 Standaardiseren: alles op dezelfde schaal/maat, maakt vergelijken tussen verschillende
verdelingen makkelijker.
 Kans berekenen:
 Soms wil je weten wat de kans op een bepaalde uitkomst is.
 De normale verdeling kan ook gebruikt worden om te kijken hoe groter of kleiner de kans op iets
is. De z-tabel!
 Steekproeven en schatten betrouwbaarheidsinterval
 Populatie en steekproef:
 Tot nu toe: beschrijvende statistiek.
 Uitgegaan van populatiedata: alle studenten M&T I 2021.
 In onderzoek: vaak steekproeven.
 Steekproef is per definitie geen perfecte representatie van populatie.
 Steekproeffout: verschil tussen gemiddelde en mediaan.
 Steekproevenverdeling:
 De verdeling van alle mogelijke steekproefgemiddeldes.
 Elke steekproef heeft een gemiddelde (m).
 Neem meerdere steekproeven: de verdeling van al deze gemiddeldes… is een normale verdeling!

,  Wat leren we hier uit?
 Gemiddelde van de steekproevenverdeling is gelijk aan populatiegemiddelde.
 De steekproevenverdeling heeft een eigen standaardafwijking.
 De standaardfout.
 Gemiddelde afstand van willekeurig steekproefgemiddelde tot algemeen gemiddelde.
 De steekproevenverdeling is normaal verdeeld.
 Centrale limietstelling:
 Als de willekeurige steekproeven bestaan uit ongeveer 30 observaties (n) of meer per steekproef,
dan…
 Is het gemiddelde van de steekproevenverdeling gelijk aan het populatiegemiddelde.
 Is de steekproevenverdeling normaal verdeeld.
 Kunnen nagaan hoe vaak bepaalde waardes voorkomen (de empirische regel!).
 Met behulp van de standaardfout.
 Zelfs als variabelen oorspronkelijk niet normaal verdeeld zijn!
 Onderzoek in de praktijk:
 Kunnen we altijd 10.000 steekproeven trekken?
 Nee! Meestal zijn we afhankelijk van één steekproef.
 Maar… we kunnen de standaardfout van de steekproevenverdeling schatten op basis van één
steekproef.
 Hoe dan?
 Statistisch, voor een steekproef, geldt dat:
 S = standaardafwijking v.d. steekproef.
 N = grootte steekproef.
 In het algemeen: hoe groter de steekproef (n), hoe kleiner de standaardfout (S.E.).
 Betrouwbaarheidsinterval:
 Kunnen we met enige zekerheid zeggen hoe ver we er naast zitten?
 ja! Met behulp van de standaardfout.
 Betrouwbaarheidsinterval.
 Bereik waarin een geschatte parameter ligt (het populatiegemiddelde).
1. Bereken steekproefgemiddelde en standaardfout.
2. Bepaal z-waarde.
 Meest gebruikte betrouwbaarheidsintervallen:
 90% (z=1.65).
 95% (z= 1.96).
 99% (z= 2.58).
 Let op:
 Standaardafwijking:
 ‘Gemiddelde’ afstand van individuele observatie ten opzichte van het gemiddelde.
 Notatie: sigma of s.
 Standaardfout:
 ‘Gemiddelde’ afstand van willekeurig steekproefgemiddelde ten opzichte van het algemeen
gemiddelde.
 Belangrijkste lessen:
 Op basis van één steekproef kunnen we:
 Redelijk zeker schatten wat de mediaan is.
 Mits… de steekproef willekeurig is getrokken (random) en n>30.
 Meer data is meer beter…
 Schaalconstructie (Cronbach’s alpha)
 Ter attentie:
 Validiteit: meten wat je wilt meten.
 Betrouwbaarheid: meet ik steeds hetzelfde?
 Schaalconstructie gaat om beiden!
 Schaalconstructie:
 Schaalconstructie: het maken van een schaal (variabele) bestaande uit meerdere items of
(onderliggende) variabelen.
 Betrouwbaarheidsanalyse: hoe intern consistent is een schaal van verschillende variabelen of
items? Antwoorden mensen consistent op de vragen?