Voici des notes de cours de réduction d’endomorphisme que j’ai réalisé durant mon année de MP* au lycée Masséna.
Ces notes reprennent les théorèmes et propriétés au programme ainsi que des exemples important à connaitre. Les preuves de la plupart des propriétés sont fournies.
Définition : Sait re RIE).
1) elle est dite valeur propre dei lauque:JeczEKOh, er(x) da.
=
- est vocker proprecher
in layque e-AId man
injectif. associé à1.
2) On mote Spee l des valeurs propres, dit spacte deu.. Et Etenlu-Id) en des rep
associés al de Jpu. Dit espace
propre.
Propriété : Sait et LIE).
1) debpeku(e -Id) = 40_) (ny (r -Id) <dim E
Si Edim
finie
même 2) AtSpe=Ex Ke (a - Id) est stable pauer et Me
De
les
=
=
Ide,
avec
matrices 3) Of Sp =su mon
injectif.
a) X-Spe=> FRANN, 1 = Spee
5)
Fattle, Sp(e-CId) Spas = -
<
Remarque : Specke de projection:40,1)
symetive:G-1,1)
Propriété : Saitn - 2IE).
1) K
espace propres de e sant en Somme directe CREIN*
2) Une famille de vep associe al des vap zaz est libre.
3) Si
dimEts:dimich dime au -, atSp(a) Lä2t
, ISpal dimE
<
Di
5
-
Ha=k espace propre de usant en samme dirce"
1 1:Frial
=
Sait Kett* Ma. Sait -Date vapde.
to x x.+ -
=
+
dat Est- + Ente de
202 +. Six =
: Ona: = a Edi= danie un
-
deEri= ve
dans E-Auri=O de Vie DeskD, (i-da/sie Exi-Dau par ta
Fiet, kD, (i-a+1) ki 0E =
=
Fie1, kD, ci=0E
-
= 0
au
vap 22 *
D auFier,k+D, vi 0.
=
Danz les Exi Saut en samme directe.
2) Sait (ilizt Spral*au Si Läf et associés auc
Creilictet le manvide.
Ona: libre
Iailier > K5finic I,
(kg)jes
libre.
Sait J fini CI. Sait (litgelk tu s Til=O. Par (), au a directement
Fjt], 0da FjzJ, 15 0
1jj=
=
-OE
3)Se déduit de (1)
Exemple : la famille (fx) de est libe des i* ou fa: Kelre eleiM.
Car fauille de vep de Dife CT) ts f'e 2011M).
Propriété : Art B semblable =>
ngA nyB =
SpH=SpB
TrA Tr =
RA RB =
Définition : Pour At Mulle) an appelle polymone canactinistiques XA det (XIm-A)
=
Définition : Sait rt LIE), dimnEc+a.
1) On dit
que rest diaganalisable lansqu'il eseiste une base de Et Matta) est
diagonale.
2) On dit que Az Mullk) est diagonalisable lasque: JPeGm(Ik),IDeDk), A=PDP-
matrices diagonales
Propriété : Sait ne LE), dimEce et A-Mat(e) au B boxe de E.
Alas:a diagable =-
Adiagable
D Immödiat par la définition
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