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Notes de cours

Multiple_Integrals_Double_Integrals_Licence_3_Mthématiques
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  • Cours

Notes et résumé de cours sur les intégrales doubles, toutes les règles dont vous avez besoins pour résoudre vos exercices. Les mots sont en anglais basique mais la partie mathématiques est faciles à saisir.

Aperçu 1 sur 3  pages

Infos sur le Document

  • 25 novembre 2023
  • 3
  • 2022/2023
  • Notes de cours
  • Patrick
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École, étude et sujet

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scienceexplore

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Multiple Integrals

Multiple integrals refer to the integration of functions of multiple variables over multiple regions of space.
In particular, they involve integrating a function of two or more variables over a two-dimensional region, a
three-dimensional region, or a higher-dimensional region.

For example, the double integral of a function 𝑓(𝑥, 𝑦) over a region ℝ in the 𝑥𝑦-plane can be thought of as
finding the volume under the surface 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) and above the region ℝ. Similarly, the triple integral of a
function 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) over a region in three-dimensional space can be thought of as finding the volume under
the surface 𝑠 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) and above the region.

Multiple integrals are a fundamental tool in calculus, and they have many applications in physics,
engineering, economics, and other fields.

Let’s start with some maths now.

I. Double integral :

Let : 𝑓 : 𝐷 ⟼ ℝ2
(𝑥, 𝑦) ⟼ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

a continuous and integrable function on 𝐷.

The double integral is denoted by ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚). 𝒅𝒙𝒅𝒚 and physically represents the value of the
volume of the cylinder with base D and ℎ𝑒𝑖𝑔ℎ𝑡 = 1 covered by the surface 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦).

▪ Let : 𝐷 = 𝐷1 ∪ 𝐷2 with 𝐷1 ∩ 𝐷2 = 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑒 (i.e, a curve whose points are neither in 𝐷1
nor in 𝐷2 ).
𝐷≡


Then : ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚). 𝒅𝒙𝒅𝒚 = ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚). 𝒅𝒙𝒅𝒚 + ∬𝑫 𝒇(𝒙, 𝒚). 𝒅𝒙𝒅𝒚
𝟏 𝟐


▪ If : 𝑓 ≥ 0 and ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦). 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 then 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 , ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷.

❖ The mean value theorem :

If : 𝑓 is integrable over 𝐷

Then : ∃(𝑐1 , 𝑐2 ) ∈ 𝐷 such that : ∬ 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙𝒅𝒚 =f(𝒄𝟏 , 𝒄𝟐 ) × 𝒂𝒓𝒆𝒂(𝑫)

❖ Fubini theorem :

Let 𝑓 continuous on 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ; 𝜓1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝜓2 (𝑥)}.

𝒃 𝝍𝟏 (𝜻)
∬ 𝒇(𝒙, 𝒚). 𝒅𝒙𝒅𝒚 = ∫ (∫ 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚) 𝒅𝒙
𝑫 𝒂 𝝍𝟐 (𝜻)


Same for : 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ; 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 ; 𝜑1 (𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝜑2 (𝑦)}.

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