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Transformations_Intégrales_Laplace_Fourier_Licence_3

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Cours

Établissement
Paris VI - Université Pierre Et Marie Curie

Notes et résumé de cours sur les transformations intégrales (Laplace et Fourier), toutes les règles dont vous avez besoins pour résoudre vos exercices. Les mots sont en anglais basique mais la partie mathématiques est faciles à saisir.

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Aperçu 1 sur 4 pages

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Publié le 25 novembre 2023
Nombre de pages 4
Écrit en 2022/2023
Type Notes de cours
Professeur(s) Patrick
Contenu Toutes les classes

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Établissement Paris VI - Université Pierre et Marie Curie
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V. Integrals transformations

1. Generalized integrals :

Let be 𝑓: 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

𝑏
Definition : ∫𝑎 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 is said to be convergent if its primitive 𝐹(𝑥) has a finite limit as 𝑡 ⟶
𝑏, and it is said to be divergent in the opposite sense. Note that 𝑏 can be finite (a number) or
infinite (∞).
+∞
• Integrals of type ∫𝑎 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 :

❖ Analysis by comparison :

Let 𝑓 and 𝑔 be two functions such that : ∀𝑥 ≤ 𝑎 ; 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)
+∞ +∞
▪ If ∫𝑎 𝑔(𝑥). 𝑑𝑥 converges, then ∫𝑎 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 converges.
+∞ +∞
▪ If ∫𝑎 𝑔(𝑥). 𝑑𝑥 diverges, then ∫𝑎 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 diverges.

❖ Analysis by equivalence :

Let 𝑓 and 𝑔 be two functions that are equivalent when 𝑥 ⟶ +∞. Then
+∞ +∞
∫𝑎 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 and ∫𝑎 𝑔(𝑥). 𝑑𝑥 are of the same nature.

+∞ 𝑑𝑥
❖ ∫𝑎 ; 𝑎 > 0, is convergente if and only if 𝛼 > 1.
𝑥𝛼

2. Laplace transformation :

Principle : The Laplace transform transforms a time-domain function 𝑓(𝑡). 𝑢(𝑡) into a
complex-valued function 𝐹(𝑝) ; 𝑝 ∈ ℂ, such that :
+∞

𝑭(𝒑) = ℒ[𝒇(𝒕). 𝒖(𝒕)] = ∫ 𝒇(𝒕)𝒆−𝒑𝒕 . 𝒅𝒕
𝟎

𝑝 = 𝑥 + 𝑖𝑦 is called the original, and ℒ(𝑝) is its image.

❖ Theorem 1 : Linearity

ℒ[𝑎𝑓1 + 𝑏𝑓2 ](𝑝) = 𝑎ℒ[𝑓1 ](𝑝) + 𝑏ℒ[𝑓2 ](𝑝)

❖ Theorem 2 : change of scale ; ∀ 𝑓 of summability 𝑥0 .

1 𝑝
▪ ∀𝑎 ∈ ℝ+
∗ ; ℒ[𝑓(𝑎𝑡)](𝑝) = 𝑎 ℒ [𝑓 (𝑎)] , if 𝑝 > 𝑎𝑥0 .
▪ ∀𝑎 ∈ ℝ ; ℒ[𝑒 𝑎𝑡 𝑓(𝑡)](𝑝) = ℒ[𝑓(𝑝 − 𝑎)] , ∀𝑝 > 𝑎 + 𝑥0 .

❖ Theorem 3 : derivative of the transform ; ∀ 𝑓
+∞
𝑑𝑛
𝑛
(ℒ(𝑓)(𝑝)) = ∫ (−𝑡 𝑛 )𝑒 −𝑝𝑡 𝑓(𝑡). 𝑑𝑡
𝑑𝑝
0

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