Notes de cours

Intégrales_de_Surface_Licence_3_Mathématiques

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Cours

Établissement
Paris VI - Université Pierre Et Marie Curie

Notes et résumé de cours sur les intégrales de surface, toutes les règles dont vous avez besoins pour résoudre vos exercices. Les mots sont en anglais basique mais la partie mathématiques est faciles à saisir.

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Publié le 25 novembre 2023
Nombre de pages 2
Écrit en 2022/2023
Type Notes de cours
Professeur(s) Patrick
Contenu Toutes les classes

Établissement Paris VI - Université Pierre et Marie Curie
Cours Mathématiques
Cours Inconnu

2,99 €

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IV. Surface integrals :

Let 𝑆 be a surface defined by its parametric representation :

𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣)
{𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣) ; (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐷
𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣)

𝐹 is a continuous scalar function on 𝑆. The surface integral is given by : ∬𝑆 𝐹 = ∬𝑆 𝐹(𝑆)𝑑𝑆

It is defined by :

⃗⃗ (𝒖, 𝒗)‖. 𝒅𝒖𝒅𝒗
∬ 𝑭(𝑺)𝒅𝑺 = ∬ 𝑭(𝒙(𝒖, 𝒗), 𝒚(𝒖, 𝒗), 𝒛(𝒖, 𝒗))‖𝑵
𝑺 𝑫

⃗ (𝑢, 𝑣) is defined by : (𝑁
The vector 𝑁 ⃗ normal to the surface 𝑆)

⃗⃗
𝜕𝑀 ⃗⃗
𝜕𝑀
⃗ (𝑢, 𝑣) =
𝑁 (𝑢, 𝑣) × (𝑢, 𝑣)
𝜕𝑢 𝜕𝑣

If 𝑆 is the graphical representation of a function 𝜑, then (𝜑 = 𝜑(𝑥, 𝑦)):

𝜕𝜑 𝜕𝜑
⃗ : (−
𝑁 ,− , 1)
𝜕𝑥 𝜕𝑦

We have then :

𝜕𝜑 2 𝜕𝜑 2
√
∬ 𝐹(𝑆)𝑑𝑆 = ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝜑(𝑥, 𝑦)) 1 + ( ) + ( ) . 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑆 𝐷 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝜕𝜑 𝜕𝜑
By denoting = 𝑝 and 𝜕𝑦 = 𝑞, then we have :
𝜕𝑥

∬ 𝐹(𝑆)𝑑𝑆 = ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝜑(𝑥, 𝑦))√1 + 𝑝2 + 𝑞 2 . 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑆 𝐷

We define the area of a surface by : 𝑎(𝑆) = ∬𝑆 𝑑𝑆

𝑎(𝑆) = ∬ √1 + 𝑝2 + 𝑞 2 . 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷

❖ Ampere-Stoke’s formula :

𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷 𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑷
∫ 𝑷𝒅𝒙 + 𝑸𝒅𝒚 + 𝑹𝒅𝒛 = ∬ ( − ) 𝒅𝒚𝒅𝒛 + ( − ) 𝒅𝒛𝒅𝒙 + ( − ) 𝒅𝒙𝒅𝒚
𝜸 𝑺 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚

𝛾 is the curve along which the line integral is taken, and 𝑆 is a surface resting on 𝛾.

Let 𝛼, 𝛽, 𝜆 be the direction cosines of the normal to 𝑆, then the formula above can be written as :

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