Notes de cours

Intégrale_Curviligne_Licence_3_Mathématiques

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Cours

Établissement
Paris VI - Université Pierre Et Marie Curie

Notes et résumé de cours sur les transformations curviligne, toutes les règles dont vous avez besoins pour résoudre vos exercices. Les mots sont en anglais basique mais la partie mathématiques est faciles à saisir.

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Aperçu 1 sur 3 pages

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Publié le 25 novembre 2023
Nombre de pages 3
Écrit en 2022/2023
Type Notes de cours
Professeur(s) Patrick
Contenu Toutes les classes

Établissement Paris VI - Université Pierre et Marie Curie
Cours Mathématiques
Cours Inconnu

2,99 €

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III. Line integrals :

Let 𝛾 be a curve arc in an open set 𝑈 of ℝ2 defined by its parametric representation :

𝑡 ⟼ 𝑥(𝑡)
{ ; 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]
𝑡 ⟼ 𝑦(𝑡)

We call the line integral of the differential form 𝑤 = 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 defined on 𝑈, the number ∫𝛾 𝜔 such
that :

𝒃
∫𝜸 𝝎 = ∫𝒂 [𝑷(𝒙(𝒕), 𝒚(𝒕))𝒙′ (𝒕) + 𝑸(𝒙(𝒕), 𝒚(𝒕))𝒚′ (𝒕)]. 𝒅𝒕

𝜕𝑓 𝜕𝑓
We can write : 𝑑𝑓 = 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦

𝑏 𝜕𝑓 𝜕𝑓
Then : ∫𝛾 𝜔 = ∫𝛾 𝑑𝑓 = ∫𝑎 [𝜕𝑥 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))𝑥 ′ (𝑡) + 𝜕𝑦 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))𝑦 ′ (𝑡)] . 𝑑𝑡

We say that 𝜔 is an exact form if :

𝑏
∫ 𝜔 = ∫ [𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))]𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥(𝑏), 𝑦(𝑏)) − 𝑓(𝑥(𝑎), 𝑦(𝑎)) = 𝑓(𝐵) − 𝑓(𝐴)
𝛾 𝑎

Which means that ∫𝛾 𝜔 depends only on the origin and the endpoint.

❖ Properties :

𝐵 𝐴
▪ ∫𝛾 𝜔 = ∫𝐴 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = − ∫𝐵 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦
▪ ∫𝛾 (𝜔1 + 𝜔2 ) = ∫𝛾 𝜔1 + ∫𝛾 𝜔2 ; 𝜔1, 𝜔2 being differential forms.
▪ ∫𝛾 𝜆𝜔 = 𝜆 ∫𝛾 𝜔 ; (𝜆 ∈ ℝ).
▪ 𝛾 = 𝛾1 + 𝛾2 : ∫𝛾 𝜔 = ∫𝛾 𝜔 + ∫𝛾 𝜔
1 2

❖ Line integral of a vector field :

Let 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑃(𝑥, 𝑦), 𝑄(𝑥, 𝑦)) be a vector field moving along a curve arc. The work of 𝑓 on 𝐴𝐵 is
𝐵
given by the line integral : ∫𝐴 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦

Definition 1 : A closed curve is said to be simple if it does not intersect itself.

Simple Not Simple

Definition 2 : A connected open set 𝐷 in ℝ2 is said to ss
be connected if any two points in 𝐷
can be joined by a curve that lies entirely in 𝐷.

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