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Summary Généralités_sur_les_Séries_Numériques_Licence_3_Mathématiques
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  • Cours

Notes et résumés de cours sur les séries numériques, généralités sur les séries télescopiques. Le document est en anglais faciles à comprendre.

Aperçu 1 sur 3  pages

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  • 25 novembre 2023
  • 3
  • 2022/2023
  • Resume

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École, étude et sujet

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scienceexplore

Aperçu du contenu

Numerical series
They are of the form :
𝜑∶ ℕ⟼ℝ
𝑛 ⟼ 𝜑(𝑛) = 𝑢𝑛

I. Generalities :

1) Definition : Let (𝑢𝑛 ) be a sequence of real numbers (or a numerical series). Let 𝑆𝑛 =
𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 𝑢𝑘 be the sequence of the first 𝑛 + 1 terms of (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ .
i. (𝑆𝑛 )𝑛∈ℕ is called the numerical series with general term 𝑢𝑛 , denoted by : 𝑺𝒏 = ∑+∞
𝟎 𝒖𝒏 .

ii. 𝑆𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 𝑢𝑘 is called the 𝑛𝑡ℎ partial sum of the series.
iii. We say that the series ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 converges if and only if the sequence of partial sums
(𝑆𝑛 )𝑛∈ℕ converges. In this case, ∃ 𝑙 ∈ ℝ a limit such that :
𝑙 = lim 𝑆𝑛 = lim ∑𝑛𝑘=0 𝑢𝑘 = ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 . 𝑙 is called the sum of the numerical series
𝑛→+∞ 𝑛→+∞

∑𝑛≥0 𝑢𝑛 .
iv. A series that does not converge is said to be divergent.
v. The nature of a series with general term 𝑢𝑛 is to determine whether it is convergent or
divergent.
vi. If the sum ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 converges to 𝑙, then we have :
𝑛 +∞ 𝑛 +∞ +∞

𝑙 = lim 𝑆𝑛 = lim ∑ 𝑢𝑘 = ∑ 𝑢𝑘 = ∑ 𝑢𝑘 + ∑ 𝑢𝑘 = 𝑆𝑛 + ∑ 𝑢𝑘
𝑛→+∞ 𝑛→+∞
𝑘=0 𝑘=0 𝑘=0 𝑘=𝑛+1 𝑘=𝑛+1
We have then : 𝑙 − 𝑆𝑛 = ∑+∞
𝑘=𝑛+1 𝑢𝑘 = 𝑅𝑛 called the 𝑛𝑡ℎ remainder of the series.


• Proposition : If ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 converges, then : lim 𝑅𝑛 = 0.
𝑛→+∞

Let ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 be a convergent series with sum 𝑙 : 𝑙 = lim 𝑆𝑛 = lim ∑𝑛𝑘=0 𝑢𝑘 .
𝑛→+∞ 𝑛→+∞

We have : 𝑆𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑢𝑛 ⇔ 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 = 𝑢𝑛 .
We have : lim 𝑆𝑛 = 𝑙 , and lim 𝑆𝑛−1 = 𝑙 (because 𝑆𝑛−1 is a subsequence of 𝑆𝑛 )
𝑛→+∞ 𝑛→+∞

Then : lim 𝑢𝑛 = lim (𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 ) = 𝑙 − 𝑙 = 0.
𝑛→+∞ 𝑛→+∞



• Proposition : If ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 converges, then lim 𝑢𝑛 = 0.
𝑛→+∞

This is the necessary condition for convergence. Its contrapositive is :
lim 𝑢𝑛 ≠ 0 ⇒ ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 diverges.
𝑛→+∞



• Proposition : The geometric series ∑𝑛≥0 𝑟 𝑛 is convergent if |𝑟| < 1 and its sum is
1
𝑙 = 1−𝑟. It is divergent if |𝑟| > 1.

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