39 Exercices Corrigées Sur Algebre 1 _ Contient ( Groupes, anneaux, corps )
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Cours
Algebre 1
Établissement
Ecole Nationale Polytechnique
39 Exercices Corrigées Sur Algebre 1 _ Contient ( Groupes, anneaux, corps )
Ecole Nationale Polytechnique
classe préparatoire de 1ère année universitaire
Exercice 1.
1. On munit de la loi de composition interne définie par :
( )( )
Montrer que est commutative, non associative, et que est élément neutre.
2. On munit de la loi de composition interne définie par :
√
Montrer que est commutative, associative, et que est élément neutre. Montrer que aucun élément de
n’a de symétrique pour .
3. On munit de la loi de composition interne définie par :
√
Montrer que l’application est un isomorphisme de ( ) vers ( ). En déduire que ( ) est
un groupe commutatif.
Allez à : Correction exercice 1
Exercice 2.
Soit et la loi dans définie par ( ) ( ) ( )
1. Montrer que ( ) est un groupe non commutatif
2. Montrer que ( ) est un sous-groupe de ( ).
Allez à : Correction exercice 2
Exercice 3.
On munit de deux lois définies par :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1. Montrer que ( ) est un groupe commutatif.
2.
a) Montrer que la loi est commutative.
b) Montrer que est associative
c) Déterminer l’élément neutre de pour la loi .
d) Montrer que ( ) est un anneau commutatif.
Allez à : Correction exercice 3
Exercice 5.
Montrer que l’intersection de deux sous-groupes et de est un sous-groupe de .
Allez à : Correction exercice 5
Exercice 6.
1
,Groupes, anneaux, corps Pascal Lainé
Montrer que les ensembles muni de l’addition sous des sous-groupes de ( )
Allez à : Correction exercice 6
Exercice 7.
Soit ( ) un groupe, et soit son élément neutre.
1. Soient , déterminer ( ) .
On suppose que pour tout ,
2. Soient , déterminer et .
3. En déduire que ( ) est commutatif.
Allez à : Correction exercice 7
Exercice 8.
Soit { } muni de la loi un groupe. Compléter sa table. On ne demande pas de
justification.
est l’élément neutre de
Allez à : Correction exercice 8
Exercice 9.
Montrer que { | | } muni de la multiplication est un sous-groupe de ( ).
Allez à : Correction exercice 9
Exercice 10.
Dresser les tables des groupes ( ) et ( ) où { } et montrer qu’il existe un
isomorphisme entre ces deux groupes.
Pour simplifier les notations on pourra poser et exprimer les éléments de en fonction des
puissances de .
Allez à : Correction exercice 10
Exercice 11.
Soit
Soit { }
1. Montrer que muni de la multiplication est un groupe.
2. Déterminer tous les éléments de , on les exprimera en fonction de j , puis déterminer les ordres
possibles des éléments de , puis enfin déterminer l’ordre de chacun de ces éléments.
3. A l’aide de la question précédente, déterminer deux sous-groupes de ( ), écrire leur table de
multiplication.
Allez à : Correction exercice 11
2
,Groupes, anneaux, corps Pascal Lainé
Exercice 12.
1. Résoudre dans , l’équation (donner les solutions sous forme algébrique et trigonométrique),
et exprimer ces solution en fonction de .
2. Montrer que { } muni de la multiplication est un sous-groupe de ( ).
3. Déterminer les ordres possible des sous-groupes de ( ), en déduire tous les sous-groupes de ( ).
Allez à : Correction exercice 12
Exercice 13.
Soit .
On pose { { }}. Soit , avec , et l’ordre de , on
rappelle que est le plus petit entier non nul tel que .
1. Montrer que ( ) est un sous-groupe de ( ).
2.
a) En faisant la division euclidienne de par montrer que est un multiple de .
b) Montrer que si et sont premiers entre eux alors l’ordre de est .
3. Montrer que si ( ) alors l’ordre de est strictement inférieur à .
4. Que peut-on conclure à l’aide des questions 2°) et 3°).
Montrer que si l’ordre de est alors et sont premiers entre eux. (On pourra montrer la
contraposée)
Allez à : Correction exercice 13
Exercice 14.
Soit l’ensemble des fonctions telles qu’il existe vérifiant :
( )
1. Montrer que pour tout , est une bijection de sur .
2. Montrer que muni de la loi de composition des fonctions est un groupe.
Allez à : Correction exercice 14
Exercice 15.
On sait que si est un entier premier, { } est un groupe pour la multiplication des classes.
1. Trouver deux entiers relatifs et tels que .
2. En déduire le symétrique de dans le groupe .
3. Déterminer les solutions de mod .
Allez à : Correction exercice 15
Exercice 16.
1. Existe-t-il un inverse pour la multiplication de dans ( ) .
2. Trouver tous les éléments de ( ) qui admettent un inverse dans ( ).
3. Trouver l’inverse pour la multiplication de la classe de dans ( ).
4. Montrer que pour tous éléments de ( ), , où désigne l’inverse de pour la
multiplication dans ( ) .
5. En déduire les solutions de .
Allez à : Correction exercice 16
Exercice 17.
3
, Groupes, anneaux, corps Pascal Lainé
On considère les groupes et (pour l’addition). On notera la classe de l’entier dans
̂
et la classe de l’entier dans .
1. Montrer que l’application définie par ( ) ̂ est bien définie et que c’est un
morphisme surjectif de groupes.
2. Déterminer le noyau ( ) et dresser sa table de composition.
3. Construire un isomorphisme entre ( ) et .
Allez à : Correction exercice 17
Exercice 18.
1. Montrer que l’application
Est bien définie et que c’est un morphisme surjectif de groupes.
2. Déterminer le noyau ( ) du morphisme et dresser sa table de multiplication.
3. Expliciter un isomorphisme du groupe pour l’addition sur le groupe ( ).
Allez à : Correction exercice 18
Exercice 19.
On note { }, où est l’ensemble des nombres complexes.
1. Montrer que ( ) est un sous-groupe de ( ).
2. Pour et on pose .
Montrer que est une relation d’équivalence sur .
3. Montrer que admet deux classes d’équivalence.
Déterminer les éléments de ces deux classes d’équivalence.
Allez à : Correction exercice 19
Exercice 20.
Soit ; on note { }.
1. Démontrer que c’est un sous-groupe de pour la multiplication.
2. Montrer que si , et divise alors .
3. Montrer que si ( ) alors .
4. Pour : on pose telle que ( ) . Montrer que est un morphisme du groupe additif
dans le groupe multiplicatif . Déterminer ( ).
Allez à : Correction exercice 20
Exercice 21.
Pour tout , on appelle classe de , notée , l’ensemble des entiers congrus à modulo .
On appelle l’ensemble des classe d’équivalence modulo et ( ) l’ensemble des classes
d’équivalence modulo différentes de .
On appelle groupe engendré par l’ensemble des puissances de , c’est-à-dire { }
On appelle { } l’ensemble des racines sixième de l’unité.
1.
a) Calculer pour { }
b) Déterminer pour tout .
On pourra utiliser la division euclidienne de par .
2. Pour quelle raison (( ) ) est-il un groupe ?
3. Montrer que le groupe engendré par est égal à ( ).
4
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