Garantie de satisfaction à 100% Disponible immédiatement après paiement En ligne et en PDF Tu n'es attaché à rien
logo-home
Recherché précédemment par vous
Recherché précédemment par vous
logo
5 Exercices corrigées sur les Developpements limités + des rappels sur les theoremes ..... (Notation de Landau - formule de Taylor - Formule de Taylor avec reste intégrale... . ) _ 1ère annèe univ 2,93 €
Ajouter au panier
Accédez rapidement à
Aperçu
  2.  
  3. Ecole Nationale Polytechnique
  4.  
  5. Analyse 2

Autre

5 Exercices corrigées sur les Developpements limités + des rappels sur les theoremes ..... (Notation de Landau - formule de Taylor - Formule de Taylor avec reste intégrale... . ) _ 1ère annèe univ
 0 fois vendu
  • Cours
  • Analyse 2
  • Établissement
  • Ecole Nationale Polytechnique

5 Exercices corrigées sur les Developpements limités + des rappels sur les theoremes ..... (Notation de Landau - formule de Taylor - Formule de Taylor avec reste intégrale... . ) _ 1ère annèe univ

Aperçu 3 sur 20  pages

Infos sur le Document

  • 22 mars 2024
  • 20
  • 2021/2022
  • Autre
  • Inconnu

Sujets

  • developpements limités
  • analyse
  • formule de taylor avec reste intégrale
  • formule de taylor avec reste intégrale

École, étude et sujet

  • Ecole Nationale Polytechnique
  • Analyse 2
Tous les documents sur ce sujet (3)

Vendeur

avatar-seller
aminall000

Aperçu du contenu

École nationale polytechniques Année : 2021/ 2022
1ère Année classe préparatoire Module : Analyse 2
Groupe 2, 5 et 8 17 février 2022


Série d’exercices 4
F`o˘r‹m˚u˜l´e˙s `d`e T`a‹y¨l´o˘rffl `eˇt D`é›vfle¨l´o¸p¯p`e›m`e›n˚t˙s L˚i‹m˚i˚t´é˙s




1 Développements limités :
Exercice 1
A l’aide de la formule de Taylor et le reste de Lagrange, montrer que :
x 2 x3
1. ∀x > 0, ln(1 + x) < x − + .
2 3
i πh x3
2. ∀x ∈ 0, : tan x > x + .
2 3

Solution


Rappel
1. Formules de Taylor :
1.1 Formule de Taylor-Lagrange :

La formule de Taylor avec reste de Lagrange est donnée par le théorème suivant :

Théorème 1
Soit f : [a, b] −→ R une fonction telle que :
☞ f ∈ C n ([a, b]).
☞ f (n) est dérivable dans ]a, b[.
Alors, il existe c ∈]a, b[ tel que

f ′ (a) f ′′ (a) f (n) (a) f (n+1) (c)
f (b) = f (a) + (b − a) + (b − a)2 + · · · + (b − a)n + (b − a)n+1 . (1)
1! 2! n! (n + 1)!

Dans la pratique, on utilise souvent le corollaire suivant :




1

, Corollaire 1
Soient x, x0 ∈]a, b[ et supposons que x0 < x. Les conditions du théorème (1) sont vérifiées sur
]x0 , x[, alors il existe c ∈]x0 , x[ tel que

f ′ (x0 ) f ′′ (x0 ) f (n) (x0 ) f (n+1) (c)
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n + (x − x0 )n+1
1! 2! n! (n + 1)!
(2)

Cette formule s’appelle formule de Taylor-Lagrange d’ordre n de la fonction f au point x0 .

Remarque
① Si n = 0 dans la formule (2) on retrouve le théorème des accroissements finis.
② On peut écrire la formule (2) sous la forme

f (x) = Pn (x) + Rn (x)

avec n
X f (k) (x0 )
✗ Pn (x) = (x − x0 )k qui s’appelle la partie polynômiale.
k=0
k!
(n+1)
f (c)
✗ Rn (x) = (x − x0 )n+1 qui s’appelle reste de Lagrange d’ordre n.
(n + 1)!
③ Si x0 = 0 dans la formule de Taylor (2) on obtient

f ′ (0) f ′′ (0) 2 f (n) (0) n f (n+1) (c) n+1
f (x) = f (0) + x+ x + ··· + x + x (3)
1! 2! n! (n + 1)!

Cette formule s’appelle formule de Maclauren avec reste de Lagrange.
④ En posant h = x − x0 alors c = x0 + θh, avec 0 < θ < 1, et on obtient une autre formulation de
(2)

f ′ (0) f ′′ (x0 ) 2 f (n) (x0 ) n f (n+1) (x0 + θh) n+1
f (x + h) = f (x0 ) + h+ h + ··· + h + h (4)
1! 2! n! (n + 1)!


1.2 Formule de Taylor-Young :

Nous allons maintenant restreindre les hypothèses en supposant simplement que f (n) (x0 ) existe.

Théorème 2
Soit f : I 7−→ R et x0 ∈ I.
Supposons que f (n) (x0 ) existe. Alors, on a pour tout x ∈ I

f ′ (x0 ) f ′′ (x0 ) f (n) (x0 )
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n + (x − x0 )n ε(x) (5)
1! 2! n!
où ε : I −→ R vérifie lim ε(x) = 0.
x−→x0
Cette formule s’appelle formule de Taylor à l’ordre n avec reste de Young.



2 I. KETTAF

, ☞ Notation de Landau :
Définition 1
Soient f et d deux fonctions et a ∈ R.
On dit que f est négligeable devant g au voisinage du point a si et seulement s’il existe un intervalle
ouvert I contenant a et une fonction ε : I −→ R tels que

lim ε(x) = 0 et ∀x ∈ I : f (x) = g(x)ε(x).
x−→a




Exemples :
π
① Au voisinage de , le cosinus est négligeable devant le sinus.
2
On pose
1
ε(x) = .
tan(x)
On a
1
limπ ε(x) = limπ =0
x−→ 2 x−→ 2 tan(x)
et nπ o 1
∀x ∈]0, π[\ : cos(x) = sin(x) × = sin(x)ε(x).
2 tan(x)
② Soit (n, m) ∈ N tel que n < m. Au voisinage de 0, xm est négligeable devant xn .
2

En effet, pour I =] − 1, 1[ et en posant ε(x) = xm−n on a

xm = xm−n+n = xm−n × xn = xn ε(x)

avec
lim ε(x) = lim xm−n = 0 car m − n > 0.
x−→0 x−→0



Notation :
Si f est négligeable devant g au voisinage de a alors on écrit

f = o(g).

Propriétés :
① Soient f, g et h trois fonctions telles que

f = o(g) et g = o(h)

au voisinage de a. Alors f = o(h).
② o(f ) + o(f ) = o(f ) et o(g) − o(g) = o(g).
③ Si f1 = o(g1 ) et f2 = o(g2 ) alors
f1 × f2 = o(g1 × g2 ).
④ On a pour tout λ ∈ R
λ × o(f ) = o(f ).


3 I. KETTAF

Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:

Qualité garantie par les avis des clients

Qualité garantie par les avis des clients

Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.

L’achat facile et rapide

L’achat facile et rapide

Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.

Focus sur l’essentiel

Focus sur l’essentiel

Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.

Foire aux questions

Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?

Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.

Garantie de remboursement : comment ça marche ?

Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.

Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?

Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur aminall000. Stuvia facilite les paiements au vendeur.

Est-ce que j'aurai un abonnement?

Non, vous n'achetez ce résumé que pour 2,93 €. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.

Peut-on faire confiance à Stuvia ?

4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)

68175 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours

Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 15 ans

Commencez à vendre!

Récemment vu par vous

Notes de cours ·

(0)

Aantekeningen BOA

2,93 €
  • (0)
Ajouter au panier
Ajouté