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Examen corrigée d'algebre 1 contient ( la logique- les polynomes - structure algebraic )
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Examen corrigée d'algebre 1 contient ( la logique- les polynomes - structure algebraic ) ENP_ 1er année univ
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CONTROLE D'ALGEBRE 13/ 011 2018 DUREE OlH JOvnrExercicel: (O6pts-O2ptsx3 )
$i p et g mnt der:x formu&es proæffiitiotr€lles, T rxre tautoÀo6ie et lT arl
dê'rlontrerJe-séquivale.ncrsJcrgiques"quivantes:
L- (@ <+ q)v'lCp Y q)) r, z- (!(p y q)^lflpylq))
= =_L
g- (flpVlq) :1r) + (p <+ q)) = r.
.Exercice 2: (OTpt- O lptf O I ptf O 1 pt f O I ptf O,dpt f O 5pt f 02pt s )
o
On consrdère le magma \ZxZ,*) ûù (",V) * \t',{\ -- (" } n',y 1-y,\
'
pcrur tout ((*,y), (*',A')) Ç (Z x Q x (Z x Z) --
",c,"pt*
1- Sachant q'ue (Z x Z, *l est un semi groupe, montrer qrc (Z x Z, *) est
un groupe abélien.
2- Montrer que 1l x K est un sous groupe de (Z x Z,*) si fl et K sont
deux sous groupes de Z.
Pour n6 € N fixq on défnit I'application fn6 : Z ---+ Z x Z.où
f*o(u) : fu+,u,|qrnt totrt ékme.nt u.€-Z-
&Evalue.r les prê-images cles élêments (W,u) €Z x Z et
(*,r) € (Z\ {rw}) xZ
& Etudrer la nature de Tapplïcation Jrro.
,1 DéIinir fns oÇ aù q : Z x Z ^ Z est I'application dêfrnit par q(î, y) : g
porrr torrr mrrple (",g) c- Z x Z-
6- Les applications fn, , q et
"f.o sont elles égales ? Justifier la réponse.
7-Tbouver p € Ntr. tel que tout élément de fa(62 + 9Z) soit de la forme
(4,p.k) où tc € Z.
Exerciæ 3 : (O7pts:0l r5.pt lO rÉpt* OIpt *O7 16 pt | 7 r5ptf lpt )
I- t- Montrer da.ns B"[X] cp:e le polynome ûrrntet (1,111,0,00..-) :
PGCDQ{4+1+X2,@.
2- IÊE polynomes 3X2 + X3 + 3X *2 et X4 + t * X2 sont ilo premiers
entre eux. Justifier la réponse.
\z & Prouver que tr : -2 est une racine de la fonction polynomiale associêe
au polynome X3 +3Xz +3X +2
4 Déoomposeren poduits defacteurs X4 +X2*l.dans R[X]
et X3 + 3X2 + 3X * 2.dans A [X1.
II- 5-Si P : (1, 1, 1,0,0, ...) et Q : e2i,1,0,0, ...) sont des éléments de
CIXI, calculer le degré, la valuation et la forme canonique de leur produit
P 'Q : (q)t.N.
III- 6- Enonær un théorèrne appraprié afn de justifier la forme de la
dÉ-ormpositiou,euéléue-nts simples a"
6=a1*6161 da,ns le corps ryrrrlmu-
tatif des fractions rationnelles C(.X).si P e C* iXJ degP < 2.
"t
, CONTROLE D'ALGEBRE 13/ 0rl 2078 DUREE 01H SOnrx
Exercicel: (06pts:02ptsx3 ) '17
Si p et q sont deux formules propositionnelles, ? une tautologie et =-J.
démontrer les équivalences logiques suivantes:
1- ((p <+ s)vl0p v s)) x T, 2- ((p v q)nl (lpYlq)) ær
s- ((lpYlq) 3t) +
(p e fi) x r.
Solution:
L- Sachant que (p <+ q) È Cp Y q), on a alors: ((p <+ q)vl(lp y
.. substitution.
q)) x ((p e q)vl ((p <+ s)) - È
.. cornplérnentarité
T.
---- substitution
2- Sachant que (pYq) æ (lpylq), on déduit: ((pvq)nl(lpvlq)) x
complémentarité
((pYq)n'l bYq)) = I.
\/\/
.. substitution,/-,- ..- \
s- ((lpylq) ar) - (p <+ q)) = ((lq!)v t) + (n e
substitution / \ neutralité
q)) È ((flpyl(lq))vIl+(pçq)) =
\.-- /
/ \ inuolution
s)) x
substtitution
(f Cpyl(lq)) l+ @ <+ ((lpvs) + (p <+ s)) =
substtitution amPtém'entarité
((p e q) + (p <+ q)) 0 h <+ s)v (p<+ q)) ,.
-/--,-
Exercice 2 : (07pts: 0 1pt*0 1pt*O Lpt*0 1pt{0,5pt*O'5pt*02pts)
On considère le magma (Z x Z,*) où (r,A) * (r',A') : (n i r',A I g')
pour tout couple ((r,y), (r' ,A')) € (Z x Z) x (V, x Z) .
(zxz'*) est un semi sroupe' montrer q're (zxz'*) est
: "" J;iî:nÏ:ffi".
2- Montrer que 11 x K est un sous groupe de (Z x Z,*) si 11 et K sont
deux sous groupes de Z.
Pour n6 € N fixé, on définit I'application fno : Z ---+ Z x Z.où
T"o(u) : (n0,2) pour tout élément u €. Z.
3-Bvaluer les prêimages des éléments (no,u) € Z x Z et
(*,u) € (Z\ {ns}) x Z.
4- Etudier la nature de I'application /'ro.
5- Définir Tnsoq où q : ZxZ ^ Z estl'application définit par q(r,A) : a
pour tour couple (*,g) e Z x Z.
6- Les applications o Q et fno sont elles égales ? Justifier la réponse.
"fro
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