1 2
● Suites majorées, minorées, bornées
LES SUITES - La suite (2! ) est majorée s'il existe un réel < tel que : 2! ≤ <.
- La suite (2! ) est minorée s'il existe un réel = tel que : 2! ≥ =.
● Inégalité de Bernoulli - La suite (2! ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
(1 + $)! ≥ 1 + '$, avec a>0, n(ℕ.
- Si une suite est croissante et admet pour limite 3, alors elle est majorée par 3.
● Limites à connaître
- Théorème de convergence monotone :
- lim ' = +∞, lim '% = +∞, lim √' = +∞.
!→#$ !→#$ !→#$ 1) Si une suite est croissante et majorée alors elle est convergente.
1 1 1 2) Si une suite est décroissante et minorée alors elle est convergente.
- lim " = 0, lim 2 = 0, lim = 0.
!→#$ !→#$ " !→#$ √"
- Théorème de divergence :
● Opérations sur les limites 1) Si une suite est croissante et non majorée alors elle tend vers +∞.
SOMME 2) Si une suite est décroissante et non minorée alors elle tend vers −∞.
lim 2! = 3 3 3 +∞ −∞ +∞
!→#$
lim 5! =
!→#$
3′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ● Suites géométriques
lim 2! + 5! = 3 + 3′ +∞ −∞ +∞ −∞ F.I. - (2! ) est une suite géométrique de raison > et de premier terme 2' .
!→#$
2!#( = > × 2! et 2! = 2' × >!
PRODUIT ∞ désigne +∞ ou −∞
- Limites :
lim 2! = 3 3 ∞ 0
!→#$ > > ≤ −1 −1 < > < 1 >=1 >>1
lim 5! = 3′ ∞ ∞ ∞ lim >! Pas de limite 0 1 +∞
!→#$ !→$
lim 2! 5! = 3 × 3′ ∞ ∞ F.I.
!→#$
1−&"+1
On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou −∞. - 1 + > + >% + ⋯ + >! = , avec ' ( ℕ ∖ {0} et > ≠ 1.
1−&
QUOTIENT ∞ désigne +∞ ou −∞
lim 2! = 3 3 ∞ ∞ 0
LIMITES DES FONCTIONS
!→#$
"≠0
lim 5! = "′ ≠ 0 0 ∞ 3 ∞ 0
!→#$
2! "
lim = ∞ 0 ∞ F.I. F.I.
!→#$ 5! "′ ● Limites à connaître
- lim F % = +∞, lim F % = +∞
On applique la règle des signes pour déterminer si le quotient est +∞ ou −∞. )→#$ )→*$
- lim F + = +∞, lim F + = −∞
)→#$ )→*$
# $ - lim F ! = +∞, lim F ! = +∞ (pour ' pair) et lim F ! = −∞ (pour ' impair)
Formes indéterminées : ∞ − ∞ 0×∞ )→#$ )→*$ )→*$
# $ - lim √F = +∞
)→#$
1 1
● Limites et comparaison - lim ' = 0, lim ' = 0
)→#$ )→*$
- Théorèmes de comparaison : - lim G ) = +∞, lim G ) = 0
2! ≤ 5! )→#$ )→*$
1) Si, à partir d'un certain rang, on a : 8 lim 2 = +∞ alors lim 5! = +∞.
! !→#$
!→#$ ● Asymptotes
2! ≥ 5!
2) Si, à partir d'un certain rang, on a : 8 lim 2 = −∞ alors lim 5! = −∞. - lim H(F) = 3 :
! !→#$ )→#$
!→#$
asymptote horizontale d'équation I = 3 en +∞.
- Théorème des gendarmes :
2! ≤ 5! ≤ ;!
lim 2! = 3
Si, à partir d'un certain rang, on a : : !→#$ alors lim 5! = 3.
!→#$
lim ;! = 3
!→#$
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, 3 4
- lim H(F) = +∞ (ou −∞) :
)→,
● Fonction exponentielle
asymptote verticale d'équation F = J. - lim G ) = +∞ et lim G ) = 0
)→#$ )→*$
- Croissances comparées :
(% (%
a) lim ' = +∞ et pour tout entier ', lim '" = +∞
)→#$ )→#$
b) lim F G ) = 0 et pour tout entier ', lim F ! G ) = 0
)→*$ )→*$
● Opérations sur les limites
K peut désigner +∞, −∞ ou un nombre réel. DÉRIVATION
SOMME
lim H(F) = 3 3 3 +∞ −∞ +∞ Fonction Dérivée Fonction Dérivée
)→-
lim L(F) = 3′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ $, $ ∈ ℝ 0 2+5 2′ + 5′
)→-
$F, $ ∈ ℝ $ S2, S ∈ ℝ S2′
lim H(F) + L(F) = 3 + 3′ +∞ −∞ +∞ −∞ F.I.
)→- F% 2F 25 2′5 + 25′
F! 1 2′
PRODUIT ∞ désigne +∞ ou −∞ 'F !*( − %
' ≥ 1 entier 2 2
lim H(F) = 3 3 ∞ 0 ) ) 2 20 5 − 25′
)→- −
lim L(F) = * *& 5 5%
3′ ∞ ∞ ∞
)→- 1 20
lim H(F) × L(F) = 3 × 3′ ∞ ∞ F.I. " √2
)→- F! − 2√2
'"+1
' ≥ 1 entier !
2 avec ' ∈
On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou −∞. '2′2!*(
) ℤ∗
√F
QUOTIENT ∞ désigne +∞ ou −∞ +√* G2 2′G 2
G) G) 20
lim H(F) = 3 "≠0 3 ∞ ∞ 0 ln(2)
)→- G .) , S ∈ ℝ SG .) 2
lim L(F) = "′ ≠ 0 0 ∞ 3 ∞ 0 1
)→- ln(F)
H(F) " F
lim = ∞ 0 ∞ F.I. F.I.
)→- L(F) "′
- Équation de la tangente à la courbe de la fonction H au point d’abscisse $ :
On applique la règle des signes pour déterminer si le quotient est +∞ ou −∞. I = H′($)(F − $) + H($).
# $
Formes indéterminées : ∞ − ∞ 0×∞
# $
CONTINUITÉ DES FONCTIONS
● Limites et comparaison
Théorèmes de comparaisons ● Fonctions continues
H(F) ≤ L(F)
1) Si on a : 8 lim H(F) = +∞ alors lim L(F) = +∞ - H est continue en $ si : lim H(F) = H($).
)→#$ )→/
)→#$
H(F) ≤ L(F)
2) Si on a : 8 lim L(F) = −∞ alors lim H(F) = −∞ ● Théorème des valeurs intermédiaires :
)→#$
)→#$ Pour démontrer que l’équation H(F) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle [$ ; W],
on démontre que :
Théorème des gendarmes
1. H est continue sur [$ ; W],
H(F) ≤ L(F) ≤ ℎ(F)
2. H change de signe sur [$ ; W],
lim H(F) = 3
Si on a : M)→#$ alors lim L(F) = 3
)→#$
3. H est strictement monotone sur [$ ; W],
lim ℎ(F) = 3 Les conditions 1 et 2 nous assurent que des solutions existent.
)→#$
Avec la condition 3 en plus, nous savons que la solution est unique.
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