Cette fiche de révisions, couvrant sept pages, est le moyen idéal pour étudier toutes les leçons vues au cours de l'année et réussir votre bac. Elle inclut tous les cours abordés durant l'année scolaire, vous permettant de réviser efficacement. Avec cette fiche complète, vous disposez de ...
● Suites majorées, minorées, bornées
LES SUITES - La suite (2! ) est majorée s'il existe un réel < tel que : 2! ≤ <.
- La suite (2! ) est minorée s'il existe un réel = tel que : 2! ≥ =.
● Inégalité de Bernoulli - La suite (2! ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
(1 + $)! ≥ 1 + '$, avec a>0, n(ℕ.
- Si une suite est croissante et admet pour limite 3, alors elle est majorée par 3.
● Limites à connaître
- Théorème de convergence monotone :
- lim ' = +∞, lim '% = +∞, lim √' = +∞.
!→#$ !→#$ !→#$ 1) Si une suite est croissante et majorée alors elle est convergente.
1 1 1 2) Si une suite est décroissante et minorée alors elle est convergente.
- lim " = 0, lim 2 = 0, lim = 0.
!→#$ !→#$ " !→#$ √"
- Théorème de divergence :
● Opérations sur les limites 1) Si une suite est croissante et non majorée alors elle tend vers +∞.
SOMME 2) Si une suite est décroissante et non minorée alors elle tend vers −∞.
lim 2! = 3 3 3 +∞ −∞ +∞
!→#$
lim 5! =
!→#$
3′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ● Suites géométriques
lim 2! + 5! = 3 + 3′ +∞ −∞ +∞ −∞ F.I. - (2! ) est une suite géométrique de raison > et de premier terme 2' .
!→#$
2!#( = > × 2! et 2! = 2' × >!
PRODUIT ∞ désigne +∞ ou −∞
- Limites :
lim 2! = 3 3 ∞ 0
!→#$ > > ≤ −1 −1 < > < 1 >=1 >>1
lim 5! = 3′ ∞ ∞ ∞ lim >! Pas de limite 0 1 +∞
!→#$ !→$
lim 2! 5! = 3 × 3′ ∞ ∞ F.I.
!→#$
1−&"+1
On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou −∞. - 1 + > + >% + ⋯ + >! = , avec ' ( ℕ ∖ {0} et > ≠ 1.
1−&
QUOTIENT ∞ désigne +∞ ou −∞
lim 2! = 3 3 ∞ ∞ 0
LIMITES DES FONCTIONS
!→#$
"≠0
lim 5! = "′ ≠ 0 0 ∞ 3 ∞ 0
!→#$
2! "
lim = ∞ 0 ∞ F.I. F.I.
!→#$ 5! "′ ● Limites à connaître
- lim F % = +∞, lim F % = +∞
On applique la règle des signes pour déterminer si le quotient est +∞ ou −∞. )→#$ )→*$
- lim F + = +∞, lim F + = −∞
)→#$ )→*$
# $ - lim F ! = +∞, lim F ! = +∞ (pour ' pair) et lim F ! = −∞ (pour ' impair)
Formes indéterminées : ∞ − ∞ 0×∞ )→#$ )→*$ )→*$
# $ - lim √F = +∞
)→#$
1 1
● Limites et comparaison - lim ' = 0, lim ' = 0
)→#$ )→*$
- Théorèmes de comparaison : - lim G ) = +∞, lim G ) = 0
2! ≤ 5! )→#$ )→*$
1) Si, à partir d'un certain rang, on a : 8 lim 2 = +∞ alors lim 5! = +∞.
! !→#$
!→#$ ● Asymptotes
2! ≥ 5!
2) Si, à partir d'un certain rang, on a : 8 lim 2 = −∞ alors lim 5! = −∞. - lim H(F) = 3 :
! !→#$ )→#$
!→#$
asymptote horizontale d'équation I = 3 en +∞.
- Théorème des gendarmes :
2! ≤ 5! ≤ ;!
lim 2! = 3
Si, à partir d'un certain rang, on a : : !→#$ alors lim 5! = 3.
!→#$
lim ;! = 3
!→#$
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, 3 4
- lim H(F) = +∞ (ou −∞) :
)→,
● Fonction exponentielle
asymptote verticale d'équation F = J. - lim G ) = +∞ et lim G ) = 0
)→#$ )→*$
- Croissances comparées :
(% (%
a) lim ' = +∞ et pour tout entier ', lim '" = +∞
)→#$ )→#$
b) lim F G ) = 0 et pour tout entier ', lim F ! G ) = 0
)→*$ )→*$
● Opérations sur les limites
K peut désigner +∞, −∞ ou un nombre réel. DÉRIVATION
SOMME
lim H(F) = 3 3 3 +∞ −∞ +∞ Fonction Dérivée Fonction Dérivée
)→-
lim L(F) = 3′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ $, $ ∈ ℝ 0 2+5 2′ + 5′
)→-
$F, $ ∈ ℝ $ S2, S ∈ ℝ S2′
lim H(F) + L(F) = 3 + 3′ +∞ −∞ +∞ −∞ F.I.
)→- F% 2F 25 2′5 + 25′
F! 1 2′
PRODUIT ∞ désigne +∞ ou −∞ 'F !*( − %
' ≥ 1 entier 2 2
lim H(F) = 3 3 ∞ 0 ) ) 2 20 5 − 25′
)→- −
lim L(F) = * *& 5 5%
3′ ∞ ∞ ∞
)→- 1 20
lim H(F) × L(F) = 3 × 3′ ∞ ∞ F.I. " √2
)→- F! − 2√2
'"+1
' ≥ 1 entier !
2 avec ' ∈
On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou −∞. '2′2!*(
) ℤ∗
√F
QUOTIENT ∞ désigne +∞ ou −∞ +√* G2 2′G 2
G) G) 20
lim H(F) = 3 "≠0 3 ∞ ∞ 0 ln(2)
)→- G .) , S ∈ ℝ SG .) 2
lim L(F) = "′ ≠ 0 0 ∞ 3 ∞ 0 1
)→- ln(F)
H(F) " F
lim = ∞ 0 ∞ F.I. F.I.
)→- L(F) "′
- Équation de la tangente à la courbe de la fonction H au point d’abscisse $ :
On applique la règle des signes pour déterminer si le quotient est +∞ ou −∞. I = H′($)(F − $) + H($).
# $
Formes indéterminées : ∞ − ∞ 0×∞
# $
CONTINUITÉ DES FONCTIONS
● Limites et comparaison
Théorèmes de comparaisons ● Fonctions continues
H(F) ≤ L(F)
1) Si on a : 8 lim H(F) = +∞ alors lim L(F) = +∞ - H est continue en $ si : lim H(F) = H($).
)→#$ )→/
)→#$
H(F) ≤ L(F)
2) Si on a : 8 lim L(F) = −∞ alors lim H(F) = −∞ ● Théorème des valeurs intermédiaires :
)→#$
)→#$ Pour démontrer que l’équation H(F) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle [$ ; W],
on démontre que :
Théorème des gendarmes
1. H est continue sur [$ ; W],
H(F) ≤ L(F) ≤ ℎ(F)
2. H change de signe sur [$ ; W],
lim H(F) = 3
Si on a : M)→#$ alors lim L(F) = 3
)→#$
3. H est strictement monotone sur [$ ; W],
lim ℎ(F) = 3 Les conditions 1 et 2 nous assurent que des solutions existent.
)→#$
Avec la condition 3 en plus, nous savons que la solution est unique.
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