Un résumé sur les suites :
Les suites constituent un outil essentiel en mathématiques, offrant une manière structurée de traiter et d'analyser des ensembles de nombres. Leur étude permet de comprendre des concepts avancés tels que la convergence, la monotonie et les séries.
● Suites majorées, minorées, bornées
LES SUITES - La suite (𝑢𝑛) est majorée s'il existe un réel 𝑀 tel que : 𝑢𝑛 ≤ 𝑀.
- La suite (𝑢𝑛) est minorée s'il existe un réel 𝑚 tel que : 𝑢𝑛 ≥ 𝑚.
● Inégalité de Bernoulli - La suite (𝑢𝑛) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
(1 + 𝑎)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑎, avec a>0, n(ℕ.
- Si une suite est croissante et admet pour limite 𝐿, alors elle est majorée par 𝐿.
● Limites à connaître
- Théorème de convergence monotone :
- lim 𝑛 = +∞, lim 𝑛2 = +∞, lim √𝑛 = +∞.
𝑛→+∞ 𝑛→+∞ 𝑛→+∞ 1) Si une suite est croissante et majorée alors elle est convergente.
1 1 1 2) Si une suite est décroissante et minorée alors elle est convergente.
- lim = 0, lim = 0, lim = 0.
𝑛→+∞ 𝑛 𝑛→+∞ 𝑛2 𝑛→+∞ √𝑛
- Théorème de divergence :
● Opérations sur les limites 1) Si une suite est croissante et non majorée alors elle tend vers +∞.
SOMME 2) Si une suite est décroissante et non minorée alors elle tend vers −∞.
lim 𝑢𝑛 = 𝐿 𝐿 𝐿 +∞ −∞ +∞
𝑛→+∞
lim 𝑣𝑛 = 𝐿′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ● Suites géométriques
𝑛→+∞
lim 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 = 𝐿 + 𝐿′ +∞ −∞ +∞ −∞ F.I. - (𝑢𝑛) est une suite géométrique de raison 𝑞 et de premier terme 𝑢0.
𝑛→+∞
𝑢𝑛+1 = 𝑞 × 𝑢𝑛 et 𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛
PRODUIT ∞ désigne +∞ ou −∞
- Limites :
lim 𝑢𝑛 = 𝐿 𝐿 ∞ 0
𝑛→+∞ 𝑞 𝑞 ≤ −1 −1 < 𝑞 < 1 𝑞=1 𝑞>1
lim 𝑣𝑛 = 𝐿′ ∞ ∞ ∞ lim 𝑞𝑛 0 1
𝑛→+∞ 𝑛→∞ Pas de limite +∞
lim 𝑢𝑛𝑣𝑛 = 𝐿 × 𝐿′ ∞ ∞ F.I.
𝑛→+∞
1−𝑞𝑛+1
On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou −∞. - 1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞𝑛 = 1−𝑞 , avec 𝑛 ( ℕ ∖ {0} et 𝑞 ≠ 1.
On applique la règle des signes pour déterminer si le quotient est +∞ ou −∞.
# $
Formes indéterminées : ∞ − ∞ 0×∞
# $
● Limites et comparaison
- Théorèmes de comparaison :
𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛
1) Si, à partir d'un certain rang, on a : 8 lim 𝑢 = +∞ alors lim 𝑣𝑛 = +∞.
𝑛 𝑛→+∞
𝑛→+∞
𝑢𝑛 ≥ 𝑣𝑛
2) Si, à partir d'un certain rang, on a : 8 lim 𝑢𝑛 = −∞ alors lim 𝑣𝑛 = −∞.
𝑛→+∞
𝑛→+∞
- Théorème des gendarmes :
𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛 ≤ w𝑛
lim 𝑢 𝑛 = 𝐿
Si, à partir d'un certain rang, on a : : 𝑛→+∞ alors lim 𝑣𝑛 = 𝐿.
𝑛→+∞
lim w𝑛 = 𝐿
𝑛→+∞
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr
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