Incertitudes
A.L
Novembre 2024
1 Introduction / Vocabulaire
On cherche à mesurer une grandeur X (le mesurande).
La mesure (ou mesurage) consiste à attribuer une valeur numérique x à cette grandeur (par exemple, on
mesure avec un ohmmètre la résistance R d’un conducteur ohmique, l’ohmmètre affiche la valeur numérique
1,54 kΩ).
Lorsque l’on effectue dans les mêmes conditions de répétabilité plusieurs mesures d’une même grandeur X,
les résultats xi se répartissent autour d’une valeur moyenne x. Ceci est dû aux petites variations aléatoires des
nombreuses grandeurs influençant la mesure (par exemple les variations de température de chaque composant
électronique de l’ohmmètre). On dit qu’il y a une variabilité de la mesure. Cette variabilité est naturelle et
fait intrinsèquement partie de la mesure. Il ne faut pas chercher à la faire disparaı̂tre, bien au contraire, elle
renferme généralement une grande richesse d’information sur le processus physique !
Définition
La quantification de la variabilité d’une mesure x d’une grandeur est appelée incertitude-type et notée
u(x).
Par définition, l’incertitude-type correspond à l’écart-type de la distribution des données issues d’une
répétition de la mesure.
Propriété
La variabilité d’un processus de mesure avec un protocole, du matériel et des conditions expérimentales
données, impliquant une ou plusieurs personnes dans l’expérience, est mesurée par une unique incertitude-
type.
Lorsque l’on fera un mesurage, il faudra donc évaluer non seulement une valeur numérique à laquelle on
associera une incertitude-type, on présentera le résultat de ce mesurage par la notation suivante :
x ± u(x) (1)
L’évaluation de l’incertitude n’est jamais une tâche de routine ni une opération purement mathématique
; elle dépend de la connaissance détaillée de la nature du mesurande et du mesurage. La qualité et l’utilité
de l’incertitude fournie pour le résultat d’un mesurage dépendent, en fin de compte, de la compréhension, de
l’analyse critique et de l’intégrité de ceux qui contribuent à son évaluation.
Propriété
L’incertitude-type permet de quantifier la variabilité d’une mesure. Ainsi, deux mesures x1 et x2 issues
du même processus sont séparées en moyenne de quelques u(x) par construction de l’incertitude-type en
tant qu’écart-type.
Pour pouvoir comparer deux mesures entre elles, il faut un critère quantitatif pour indiquer si ces deux
mesures sont considérées comme compatibles ou incompatibles.
1
, Définition
L’écart normalisé EN entre deux processus de mesure donnant les valeurs m1 et m2 et d’incertitudes
types u(m1 ) et u(m2 ) est défini par
|m2 − m1 |
EN = p
u(m1 )2 + u(m2 )2
Par convention, on qualifie souvent deux résultats de compatibles si leur écart normalisé vérifie la pro-
priété EN ≲ 2.
2 Estimation du résultat d’une mesure et de l’incertitude-type
2.1 Cas d’une expérience avec une variabilité observée : incertitude de type A
2.1.1 Définition et propriétés
Nous nous intéressons dans cette partie à une mesure variable : quand on fait plusieurs observations alors on
trouve des valeurs différentes (mesure automatique à l’oscilloscope, mesure d’une concentration à l’équivalence
d’un dosage en refaisant plusieurs fois le dosage, mesure d’une distance focale pour différentes positions objet-
image, mesure d’une vitesse pour différentes distances et durées, mesure d’une résistance électrique avec plusieurs
ohmmètres...). Ce n’est pas forcément la situation la plus courante quand vous serez en TP, car cette situation
est souvent chronophage, il faut faire plusieurs fois le mesurage.
Dans le cas où l’on a réalisé N mesures de la même grandeur donnant des résultats xi , i ∈ [1, N ], le meilleur
estimateur de la grandeur recherchée est la moyenne sur les N observations :
N
1 X
x∗ = xi (2)
N i=1
Pour déterminer l’incertitude-type d’une observation, qui exprime la variabilité potentielle de cette observa-
tion, on utilise l’écart-type associé aux N mesures et le meilleur estimateur de cet écart-type est :
v
u N
∗
u 1 X
σ =t (xi − x∗ )2 (3)
N − 1 i=1
On peut être intéressé dans la situation où on a plusieurs observations à estimer l’incertitude-type associée
à la moyenne. Dans ce cas à N observations, on utilise un nouvel estimateur de cet incertitude-type :
σ∗
u(x∗ ) = √ (4)
N
L’incertitude-type associée à la moyenne est donc bien plus petite que cette associée à une seule observation.
2.1.2 Exemple
10 groupes d’élèves ont mesuré la vitesse du son par mesure de temps de vol, et voici les résultats qu’ils ont
obtenu :
Groupe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
vitesse en m/s 343, 8 339, 2 343, 0 343, 9 340, 5 335, 8 344, 3 341, 0 346, 5 337, 9
La moyenne de cet ensemble d’observations vaut : c = 341, 6 m/s.
L’incertitude-type lié à une observation vaut l’écart-type de l’ensemble avec le ‘N − 1’ : u(c) = 3, 3 m/s.
L’incertitude-type liée à la moyenne u(c) = u(c)
√
10
= 1, 0 m/s.
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A.L
Novembre 2024
1 Introduction / Vocabulaire
On cherche à mesurer une grandeur X (le mesurande).
La mesure (ou mesurage) consiste à attribuer une valeur numérique x à cette grandeur (par exemple, on
mesure avec un ohmmètre la résistance R d’un conducteur ohmique, l’ohmmètre affiche la valeur numérique
1,54 kΩ).
Lorsque l’on effectue dans les mêmes conditions de répétabilité plusieurs mesures d’une même grandeur X,
les résultats xi se répartissent autour d’une valeur moyenne x. Ceci est dû aux petites variations aléatoires des
nombreuses grandeurs influençant la mesure (par exemple les variations de température de chaque composant
électronique de l’ohmmètre). On dit qu’il y a une variabilité de la mesure. Cette variabilité est naturelle et
fait intrinsèquement partie de la mesure. Il ne faut pas chercher à la faire disparaı̂tre, bien au contraire, elle
renferme généralement une grande richesse d’information sur le processus physique !
Définition
La quantification de la variabilité d’une mesure x d’une grandeur est appelée incertitude-type et notée
u(x).
Par définition, l’incertitude-type correspond à l’écart-type de la distribution des données issues d’une
répétition de la mesure.
Propriété
La variabilité d’un processus de mesure avec un protocole, du matériel et des conditions expérimentales
données, impliquant une ou plusieurs personnes dans l’expérience, est mesurée par une unique incertitude-
type.
Lorsque l’on fera un mesurage, il faudra donc évaluer non seulement une valeur numérique à laquelle on
associera une incertitude-type, on présentera le résultat de ce mesurage par la notation suivante :
x ± u(x) (1)
L’évaluation de l’incertitude n’est jamais une tâche de routine ni une opération purement mathématique
; elle dépend de la connaissance détaillée de la nature du mesurande et du mesurage. La qualité et l’utilité
de l’incertitude fournie pour le résultat d’un mesurage dépendent, en fin de compte, de la compréhension, de
l’analyse critique et de l’intégrité de ceux qui contribuent à son évaluation.
Propriété
L’incertitude-type permet de quantifier la variabilité d’une mesure. Ainsi, deux mesures x1 et x2 issues
du même processus sont séparées en moyenne de quelques u(x) par construction de l’incertitude-type en
tant qu’écart-type.
Pour pouvoir comparer deux mesures entre elles, il faut un critère quantitatif pour indiquer si ces deux
mesures sont considérées comme compatibles ou incompatibles.
1
, Définition
L’écart normalisé EN entre deux processus de mesure donnant les valeurs m1 et m2 et d’incertitudes
types u(m1 ) et u(m2 ) est défini par
|m2 − m1 |
EN = p
u(m1 )2 + u(m2 )2
Par convention, on qualifie souvent deux résultats de compatibles si leur écart normalisé vérifie la pro-
priété EN ≲ 2.
2 Estimation du résultat d’une mesure et de l’incertitude-type
2.1 Cas d’une expérience avec une variabilité observée : incertitude de type A
2.1.1 Définition et propriétés
Nous nous intéressons dans cette partie à une mesure variable : quand on fait plusieurs observations alors on
trouve des valeurs différentes (mesure automatique à l’oscilloscope, mesure d’une concentration à l’équivalence
d’un dosage en refaisant plusieurs fois le dosage, mesure d’une distance focale pour différentes positions objet-
image, mesure d’une vitesse pour différentes distances et durées, mesure d’une résistance électrique avec plusieurs
ohmmètres...). Ce n’est pas forcément la situation la plus courante quand vous serez en TP, car cette situation
est souvent chronophage, il faut faire plusieurs fois le mesurage.
Dans le cas où l’on a réalisé N mesures de la même grandeur donnant des résultats xi , i ∈ [1, N ], le meilleur
estimateur de la grandeur recherchée est la moyenne sur les N observations :
N
1 X
x∗ = xi (2)
N i=1
Pour déterminer l’incertitude-type d’une observation, qui exprime la variabilité potentielle de cette observa-
tion, on utilise l’écart-type associé aux N mesures et le meilleur estimateur de cet écart-type est :
v
u N
∗
u 1 X
σ =t (xi − x∗ )2 (3)
N − 1 i=1
On peut être intéressé dans la situation où on a plusieurs observations à estimer l’incertitude-type associée
à la moyenne. Dans ce cas à N observations, on utilise un nouvel estimateur de cet incertitude-type :
σ∗
u(x∗ ) = √ (4)
N
L’incertitude-type associée à la moyenne est donc bien plus petite que cette associée à une seule observation.
2.1.2 Exemple
10 groupes d’élèves ont mesuré la vitesse du son par mesure de temps de vol, et voici les résultats qu’ils ont
obtenu :
Groupe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
vitesse en m/s 343, 8 339, 2 343, 0 343, 9 340, 5 335, 8 344, 3 341, 0 346, 5 337, 9
La moyenne de cet ensemble d’observations vaut : c = 341, 6 m/s.
L’incertitude-type lié à une observation vaut l’écart-type de l’ensemble avec le ‘N − 1’ : u(c) = 3, 3 m/s.
L’incertitude-type liée à la moyenne u(c) = u(c)
√
10
= 1, 0 m/s.
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