Chapitre 3
Limites de fonction
3.1 Limite in
nie en l'in
ni
3.1.1 Dé
nition
Dé
nition 1
Soit f une fonction dé
nie sur un intervalle de la forme ]α, +∞[ ou [α, +∞[.
1. On dit que f tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout inter-
valle de la forme ]A, +∞[ contient f (x) pour x positif assez grand. On écrit alors
lim f (x) = +∞.
x→+∞
2. On dit que f tend vers −∞ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout inter-
valle de la forme ]−∞, A[ contient f (x) pour x positif assez grand. On écrit alors
lim f (x) = −∞.
x→+∞
Pour tout réel A, f (x) > A dès que x est Pour tout réel A, f (x) < A dès que x est
su
samment grand lim f (x) = +∞ su
samment grand lim f (x) = −∞
x→+∞ x→+∞
Dé
nition 2
Soit f une fonction dé
nie sur un intervalle de la forme ]−∞, α[ ou ]−∞, α].
1. On dit que f tend vers +∞ quand x tend vers −∞ si et seulement si tout intervalle
de la forme ]A, +∞[ contient f (x) pour x négatif assez grand en valeur absolue. On
écrit alors lim f (x) = +∞.
x→−∞
2. On dit que f tend vers −∞ quand x tend vers −∞ si et seulement si tout intervalle
de la forme ]−∞, A[ contient f (x) pour x négatif assez grand en valeur absolue. On
écrit alors lim f (x) = −∞.
x→−∞
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, Pour tout réel A, f (x) > A dès que x est négatif Pour tout réel A, f (x) < A dès que x est négatif
et su
samment grand en valeur absolue et su
samment grand en valeur absolue
lim f (x) = +∞ lim f (x) = −∞
x→−∞ x→−∞
3.1.2 Limites de référence in
nies en l'in
ni
Théorème 3
1. a. Pour tout entier naturel non nul n, x→+∞
lim xn = +∞
b. Pour tout entier naturel non nul p, lim x2p = +∞ et lim x2p+1 = −∞ ou
x→−∞ x→−∞
encore, pour tout entier naturel non nul n,
+∞ si n est pair
®
lim xn =
x→−∞ −∞ si n est impair
√
2. lim
x→+∞
x = +∞
√
Démonstration. Nous allons démontrer que lim x = +∞ et que lim x2 = +∞
x→+∞ √ x→−∞
• Soit A un réel. Si A < 0, alors pour √tout réel
√ x ⩾ 0, x > A. √
Si A ⩾ 0, alors pour x √ ⩾ A2 , on a x > A2 (par stricte croissance de la fonction t 7→ t
sur [0, +∞[) ou encore x > A. √
Ainsi, tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient x pourvu que x soit su
samment grand
et donc √
lim x = +∞
x→+∞
• Soit A un réel. Si A < 0, alors pour tout
√ réel x, x2 > A. √ 2
2
Si A ⩾ 0, alors pour tout réel x ⩽ − A, on a x > (− A) (par stricte décroissance de la
fonction t 7→ t2 sur ]−∞, 0]) ou encore x2 > A.
Ainsi, tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient x2 pourvu que x soit négatif et su
samment
grand en valeur absolue. Donc
lim x2 = +∞
x→−∞
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Limites de fonction
3.1 Limite in
nie en l'in
ni
3.1.1 Dé
nition
Dé
nition 1
Soit f une fonction dé
nie sur un intervalle de la forme ]α, +∞[ ou [α, +∞[.
1. On dit que f tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout inter-
valle de la forme ]A, +∞[ contient f (x) pour x positif assez grand. On écrit alors
lim f (x) = +∞.
x→+∞
2. On dit que f tend vers −∞ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout inter-
valle de la forme ]−∞, A[ contient f (x) pour x positif assez grand. On écrit alors
lim f (x) = −∞.
x→+∞
Pour tout réel A, f (x) > A dès que x est Pour tout réel A, f (x) < A dès que x est
su
samment grand lim f (x) = +∞ su
samment grand lim f (x) = −∞
x→+∞ x→+∞
Dé
nition 2
Soit f une fonction dé
nie sur un intervalle de la forme ]−∞, α[ ou ]−∞, α].
1. On dit que f tend vers +∞ quand x tend vers −∞ si et seulement si tout intervalle
de la forme ]A, +∞[ contient f (x) pour x négatif assez grand en valeur absolue. On
écrit alors lim f (x) = +∞.
x→−∞
2. On dit que f tend vers −∞ quand x tend vers −∞ si et seulement si tout intervalle
de la forme ]−∞, A[ contient f (x) pour x négatif assez grand en valeur absolue. On
écrit alors lim f (x) = −∞.
x→−∞
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, Pour tout réel A, f (x) > A dès que x est négatif Pour tout réel A, f (x) < A dès que x est négatif
et su
samment grand en valeur absolue et su
samment grand en valeur absolue
lim f (x) = +∞ lim f (x) = −∞
x→−∞ x→−∞
3.1.2 Limites de référence in
nies en l'in
ni
Théorème 3
1. a. Pour tout entier naturel non nul n, x→+∞
lim xn = +∞
b. Pour tout entier naturel non nul p, lim x2p = +∞ et lim x2p+1 = −∞ ou
x→−∞ x→−∞
encore, pour tout entier naturel non nul n,
+∞ si n est pair
®
lim xn =
x→−∞ −∞ si n est impair
√
2. lim
x→+∞
x = +∞
√
Démonstration. Nous allons démontrer que lim x = +∞ et que lim x2 = +∞
x→+∞ √ x→−∞
• Soit A un réel. Si A < 0, alors pour √tout réel
√ x ⩾ 0, x > A. √
Si A ⩾ 0, alors pour x √ ⩾ A2 , on a x > A2 (par stricte croissance de la fonction t 7→ t
sur [0, +∞[) ou encore x > A. √
Ainsi, tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient x pourvu que x soit su
samment grand
et donc √
lim x = +∞
x→+∞
• Soit A un réel. Si A < 0, alors pour tout
√ réel x, x2 > A. √ 2
2
Si A ⩾ 0, alors pour tout réel x ⩽ − A, on a x > (− A) (par stricte décroissance de la
fonction t 7→ t2 sur ]−∞, 0]) ou encore x2 > A.
Ainsi, tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient x2 pourvu que x soit négatif et su
samment
grand en valeur absolue. Donc
lim x2 = +∞
x→−∞
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