Le cours Combinatoire et dénombrement étudie les méthodes permettant de compter et organiser des ensembles d'éléments. Il inclut des notions comme les arrangements, les permutations, les combinaisons, et les principes fondamentaux d'addition et de multiplication. Ce domaine est essentiel pour ...
2.1 Principe additif
Dé
nition 1 (Ensemble
ni et cardinal)
Un ensemble A est
ni s'il contient un nombre
ni n d'éléments (n entiers). Le cardinal
de A, noté Card(A), est le nombre d'éléments de l'ensemble A. On trouvera parfois les
notations | A | ou #A
Proposition 2 (Principe additif)
Soit A et B deux ensembles
nis de cardinaux m et n.
1. Si les ensembles A et B sont disjoints (A ∩ B = ∅) on a :
Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B)
2. Si A et B sont quelconques alors :
Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B)
On peut généraliser :
Proposition 3
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et A1 , A2 , . . . , An des ensembles
nis deux à
deux distincts. Alors :
n
X
Card(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ) = Card(A1 ) + . . . + Card(An ) = Card(Ai )
i=1
17
, 2.2 Produit cartésien
Dé
nition 4
Soit A et B deux ensembles non vides. Le produit cartésien de A et B est l'ensemble noté
A × B (se lit A croix B constitué des couples (x; y) où x est un élément de A et y un
élément de B .
Plus formellement, A × B = {(x; y), x ∈ A, y ∈ B}
Proposition 5
Soit A et B deux ensembles
nis. Alors :
Card(A × B) = Card(A) × Card(B)
2.3 Dénombrement des k-listes d'un ensemble E
Dans cette partie, on désigne par n, m et k des entiers naturels.
Dé
nition 6
Soit E un ensemble de cardinal n et k un entier naturel non nul.
Un k -uplets (ou k -listes) est une liste ordonnées (e1 ; e2 ; . . . ; ek ) de k éléments de E , distincts
ou confondus.
L'ensemble de tous les k -uplets de E est l'ensemble :
Ek = E
| ×E×
{z. . . × E}
k fois
Proposition 7 (Dénombrement des k-uplets)
Soit E un ensemble de cardinal n et k un entier naturel non nul.
Le nombre de k -uplets de E est nk ou encore :
Card(E k ) = [Card(E)]k = nk
Le lecteur est encouragé à chercher cette démonstration (par récurrence).
2.4 Nombre de parties d'un ensemble
Dé
nition 8
1. A inclus dans E : A ⊂ E ; on dit que A est un sous-ensemble ou une partie de E .
2. P(E) : ensemble des parties de E .
3. L'ensemble vide ∅ est une partie de tout ensemble E
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