Dit is een compacte, duidelijke samenvatting van het vak I-chemische procesregeling in het masterjaar. Hierin word alle te kennen theorie duidelijk uitgelegd in de woorden van de prof, en alle niet te kennen wiskundige vergelijkingen uit de cursus zijn eruit gelaten.
Samenvatting chemische
procesregeling
5. wiskundige hulpmiddelen en definities
Indelingen van systemen
1) Met slechts 1 uitgang : monovariabel systeem
a. SISO : single input- single output
b. MISO : multiple input- single output
2) Met meerdere uitgangen : multivariabel systeem = MIMO : multiple input- multiple output
Lineariseren
Je kan enkel laplacetransformaties nemen van lineaire differentiaalvergelijkingen:
Een lineaire vergelijking :
Indien de differentiaalvergelijking niet lineair is moet je hem lineariseren
( dxdf )
Dit gebeurt met de volgende formule : f l ( x )=f ( x 0 ) +
x=x 0
.( x−x 0)
Met :
- f(x) = de originele functie
- fL(x) = de gelineariseerde functie
- x0 = werkpunt waarrond wordt gelinealiseerd (de ingestelde waarde)
- f(x0) = de originele functie met x vervangen door x 0
Voor een lineair systeem geldt:
Met :
- pi en qi = constanten
- y(t) = uitgangsveranderlijke
- x(t) = ingangsveranderlijke
- n = de orde van de differentiaalvergelijking
, 2
afwijkingsveranderlijken
De differentiaalberekeningen van lineaire systemen kunnen makkelijker gemaakt worden door het
gebruik van afwijkingsveranderlijken: zA(t) = z(t) - zs
- met zA(t) = de afwijking
- z(t) = de veranderlijke (gemeten)
- zs = de ingestelde waarde (statische toestand)
Dus het invoeren van afwijkingsveranderlijken bij lineaire systemen die zich voor t<0 in de statische
toestand bevinden, biedt volgende voordelen:
- de natuur van de differentiaalvergelijking wordt niet gewijzigd. Eventuele constante termen,
die slechts een invloed hebben op de statische toestand vallen weg
- de beginvoorwaarde van afwijkingsveranderlijken is altijd nul
- laplacetransformaties van de afgeleiden van afwijkingsveranderlijken is heel eenvoudig
- In procesregeling ben je enkel geïnteresseerd in de afwijking
Ingang-uitgangmodellering
De transferfunctie H(s) = een vergelijking in het laplace domein die het verband geeft tussen de
ingang XA(s) en de uitgang YA(s)
A
Y (s)
H ( s )= A
X ( s)
- A : de afwijkingsveranderlijke
- (s) : lapacedomein
Met gekende transferfunctie en gekende storing X A(s) kunnen we de uitgang voorspellen.
- XA(s) = B/s
o Met B de stapfunctie storing (bv koelwater wordt ineens 10 graden warmer B=10)
Probleem kan wiskundig zo makkelijk ontleden worden
De statische versterking K
= is de verhouding van de uiteindelijke verandering (t=ꚙ) van de uitgangsveranderlijke en de
ingangsveranderlijke van een proces na een stapfunctie aan de ingang.
- Is een eigenschap van het proces
- Zelfs zonder een sturing
Δy
K=
[ ]
Δx t =inf
=¿ ¿
Voor een bepaalde stapfunctie:
- Als K groot is zal de verandering aan de uitgang groot zijn = het proces is zeer gevoelig voor
storingen
, 3
- Als K klein is zal de verandering aan de uitgang klein zijn = het proces is weinig gevoelig voor
storingen
Voorbeeld 1 : een buffervat met constante warmteproductie
1) We vertrekken van een energiebalans
J
¿+GEPRODUCEERD=UIT + ACCUMULATIE
[ s
=W
]
- Constante warmteproductie dus Φ G , s=cte∈de tijd
- Geen steady state systeem dus accumulatie is niet 0 (d…/dt)
kg J kg J d 1 J
ṁ
[ ]
s [ ]
.T i [ ° C ] .C p
kg . s
+ ΦG , s= ṁ
[ ]
s
.T [°C ].C p +
[ ] []
kg . s dt s
. T [ ° C ] m CSTR [ kg ] .C p
[ ]
kg . s
- CSTR reactor : T in reactor = T uitgaande stroom = T
Kan ook massabalans [kg/s of mol/s]
2) Dan kijken of deze functie lineair is ja
x. cte + cte = y.cte + y’.cte
3) Opstellen van de normaal vergelijking :
d
a. ṁ .T i (t).C p +Φ G , s=ṁ .T (t) .C p + .T ( t ) . mCSTR . C p
dt
b. ṁ .C p wegwerken
mCSTR d .T (t) Φ
c. . +T ( t )=T i ( t ) + G , s
ṁ dt ṁ. C p
d. We definiëren de volgende variabelen:
mCSTR
i. =τ=de gemiddelde verblijfstijd ∈de reactor [ s ]
ṁ
ii. De factor voor T i ( t )( in dit geval 1) = K, de statische versterking
d . T (t ) ΦG ,s
e. τ . +T ( t )=K .T i (t ) +
dt ṁ . C p
4) Invoeren van afwijkingsveranderlijken : TA(t)= T(t) – Ts TAi(t)= Ti(t) – Ti,s
A
d (T ( t ) +T s ) A Φ
a. τ . +T ( t ) +T s =K . (T A i ( t ) +T i , s )+ G , s
dt ṁ .C p
, 4
dTs
b. Afgeleide van een constante is 0 : =0
dt
d T A (t ) A A ΦG , s
c. τ . +T ( t ) +T s =K . (T i ( t ) +T i , s )+
dt ṁ .C p
5) Als we deze vergelijking (3.e) schrijven in de statische toestand:
dTs Φ
a. τ . + T s=K .T i , s+ G , s
dt ṁ .C p
dTs
b. Afgeleide van een constant getal is 0 :τ . =0
dt
ΦG ,s
c. T s=K . T i , s +
ṁ. C p
6) 4.c en 5.c combineren dan krijgen we:
d T A (t ) A A
a. τ . +T ( t ) =K .T i ( t )
dt
7) Laplace nemen
A A A
a. τ . d T ( s ) . s +T ( s )=K .T i ( s )
8) transferfunctie in het Laplacedomein opstellen :
A
T (s)
a. H ( s )=
T Ai( s )
K
b. H ( s )=
τ . s +1
i. Met K = 1
1
c. H ( s )=
τ . s +1
9) We willen nu de temperatuur aan de uitgang weten in het tijdsdomein : inverse Laplace van
YA(s) = H(s) . XA(s)
ΔT i
a. XA(s)=T Ai ( s )=
s
i. Met ΔTi = de stapfunctie aan de ingang
1 ΔTi
10) YA(s) ¿ T A ( s )= H(s) . XA(s) = .
τ . s+ 1 s
A A B
a. Splitsen in partieelbreuken : T ( s )= +
s τ . s+1
i. A = ΔTi
ii. B = -τ. ΔTi
ΔTi τ. ΔTi
b. T A ( s )= −
s τ . s+1
11) Via de laplacetransformaties :
−t
1
a. T A ( t ) =ΔT i−τ . Δ T i . .e τ
τ
−t
b. T A ( t ) =ΔT −Δ T .e τ
i i
−t
c. T A ( t ) =ΔT (1−e τ )
i
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper woutdewachter. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €10,49. Je zit daarna nergens aan vast.
