Document bestaat uit 2 delen
1. Differentiaalvergelijkingen
--> alle methodes hoe je een dv moet oplossen
- Exacte DV
- lineiare DV
-Onvolledige DV
- Schaalinvariant
- homogene
- ...
2. Rijen en reeksen
BEWIJZEN OVERZICHT
1) Bewijs door volledige inductie
2) Algemene term van een reeks
3) Divergentiekenmerk
4) Majorante reeks
5) Positieve reeksen: het integraalkenmerk
6) Positieve reeksen: convergentie van hyper harmonische reeks
7) Kenmerk van d'Alembert
8) Kenmerk van Cauchy
9) Absolute convergentiekenmerk
10) Kenmerk van Leibniz
11) Het uitgebreide kenmerk van D’almbert
12) Stelling van Taylor
HOOFDSTUK 21: DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
Algemene begrippen
I. Algemene DV van orde n
II. Algemene oplossing van DV van orde n (O.A.)
III. Particuliere oplossing
IV. Singuliere oplossing
V. Begin en randvoorwaarde
DV van de 1ste orde: oplossen
I. Scheiding van veranderlijke
!"
o Vervang 𝑦’ → !#
o Zorg ervoor dat je x en y kan scheiden
o Integreren
o AO is van de vorm: y = …
II. Schaalinvariant
→ zeer specifieke vorm
𝑦’ = 𝑔(𝑥, 𝑦) ⇒ waarbij 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑘𝑥, 𝑘𝑦)
o Oplossen
"
Nieuwe functie: 𝑢 = # ⇒ 𝑦 = 𝑢 ∗ 𝑥
Dan is 𝑦 $ = 𝑢 + 𝑢$ ∗ 𝑥
→ In de DV invullen
→ je gaat kunnen vereenvoudigen
o Indien u’ weg is (dus geïntegreerd)
"
→ u vervangen door #
→ oplossen naar y
III. Lineaire DV
→ vorm: 𝑦 $ + 𝐴(𝑥)𝑦 = 𝐵(𝑥)
o Speciale gevallen
→ A en B constant ⇒ 𝑦 $ + 𝐶% 𝑦 = 𝐶& (oplossen met SVV)
→ A = 0 ⇒ 𝑦 $ = 𝐵(𝑥) (gewoon integreren)
→ B = 0 ⇒ 𝑦 $ + 𝐴(𝑥)𝑦 = 0 → HLDV
Kies u zodat: 𝑢$ ∙ 𝐴(𝑥)𝑢 = 0 (met SVV) (we zoeken 1 oplossing)
Dan (*) ⇒ 0 + 𝑢 ∙ 𝑣 $ = 𝐵(𝑥)
⇒ 𝑢 ∙ 𝑣 $ = 𝐵(𝑥) → oplossen
Zo functie v berekenen
Op het einde
𝑦 =𝑢∙𝑣
→ u en v invullen
→ dan zo y bepalen
→ niet vergeten bij v wel rekening houden met C
IV. Exacte DV
o Vorm: 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
o Checken of het exact is
→ Is exact als 𝑃′(𝑥, 𝑦) = 𝑄′(𝑥, 𝑦) (eerst checken)
→ wat bij dx staat afleiden naar y
→ wat bij dy staat afleiden naar x
o Zoek een super primitieve (F)(1tje is genoeg)
→ voor een zeker F geldt:
𝐹#$ (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝐹"$ (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
𝐹#$ (𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝐹"$ (𝑥, 𝑦) = 𝑄(𝑥, 𝑦)
→ P integreren naar x (dus y is constant)
→ integrant met een constante in functie van y achteraan
→ de geïntegreerde P terug afleiden naar y
→ gelijk stellen aan Q
→ en 𝑐(𝑦) bepalen
→ in de geïntegreerde P → 𝑐(𝑦) invullen
o Dan totale differentiaal berekenen
𝑑<∫ 𝑃 + 𝑐(𝑦)> = 0
integreren
⇒ ∫ 𝑃 + 𝑐(𝑦) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper Jaco0207. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €9,99. Je zit daarna nergens aan vast.
