Samenvatting
Samenvatting Wiskunde
- Instelling
- Universiteit Gent (UGent)
Samenvatting van ppt en cursus + veel formulariums
[Meer zien]Voorbeeld 4 van de 49 pagina's
Voorbeeld 4 van de 49 pagina's
In winkelwagen1 beoordeling
Door: charlotteroose • 2 jaar geleden
Voorbeeld van de inhoud
Wiskunde1. Reële functies
1.1. Basisbegrippen
1.1.1. Functie en functievoorschrift
Definitie:
Een functie f is een relatie tussen twee verzamelingen X en Y, zodat
met ieder element x ∈ X juist één element y ∈ Y gekoppeld.
Notaties:
• Functie f: X -> Y
- X: definitiegebied def(f)
- Y: beeld im(f)
• Functievoorschrift y = f(x)
- x: argumennt
- y: functiewaarde in punt x
• Reële functie f: X = def(f) ∈ ℝ
Y = ℝ, im(f) ∈ ℝ
1.1.2. Definitiegebied en beeld
Definitie
Gegeven een functie f:X -> Y, dan is
• Verzameling X van x-waarden: het definitiegebied van f,
genoteerd als def(f)
• Verzameling Y waarin y waarden aanneemt: het codomein van f
• Deelverzameling van Y die bestaat uit de beelden v.d. elementen
van X: het beeld van f, genoteerd als im(f)
1.1.3. Grafische voorstelling
Orthogonaal assenstelsel: x-as ⊥ y-as
y = f(x) → punten met coördinaten: (x,y) = (x, f(x))
, 1.1.4. Stijgen en dalen
Functie f gedefinieerd in interval l:
f stijgend: grotere x-waarden afgebeeld op grotere y-waarden
f dalend: grotere x-waarden afgebeeld op kleinere y-waarden
f stijgend in l als ∀ x1<x2 in l geldt: f(x1) ≤ f(x2)
f dalend in l als ∀ x1<x2 in l geldt: f(x1) ≥ f(x2)
f strikt stijgend als ∀ x1<x2 in l geldt: f(x1) < f(x2)
f strikt dalend als ∀ x1<x2 in l gelft: f(x1) > f(x2)
Definitie:
Een functie wordt (strikt) stijgend/dalend genoemd indien ze
stijgend/dalend is in gans het definitiegebied.
1.1.5. Bijzondere punten
Nulpunt
Een nulpunt v.e functie f is een punt x0 ∈ def(f) waarvoor geldt dat f(x0)=0
Oplossen door f(x)=0
Globaal extrema
Een functie f bereikt een globaal maximum in x0 als ∀ x in def(f) geldt dat
f(x0) ≥ f(x).
Een functie f bereikt een globaal minimum in x0 als ∀ x in def(f) geldt dat
f(x0) ≤ f(x).
Oplossen door f’(x)=0
Lokaal extrema
Een functie f bereikt een lokaal maximum in x0 als er een 𝛿 > 0 bestaat
zodanig dat f(x0) ≥ f(x) ∀ x-waarden die ∈ ]x0-𝛿, x0+ 𝛿[ ∩ def(f)
Een functie f bereikt een lokaal minimum in x0 als er een 𝛿 > 0 bestaat
zodanig dat f(x0) ≤ f(x) ∀ x-waarden die ∈ ]x0-𝛿, x0+ 𝛿[ ∩ def(f)
Oplossen door f’’(x)=0
,1.1.6. Even, oneven en periodieke functies
Een functie f wordt even genoemd als voor elke x v. def(f) geldt dat:
f(x) = f(-x)
Een functie wordt oneven genoemd als voor elke x v. def(f) geldt dat:
f(x) = -f(-x)
Grafiek is punt symmetrisch t.o.v. oorsprong
f(0)=0
Bestaat er een vast getal 𝜔 ∈ ℝ, zodanig dat ∀ x ∈ def(f) waarvoor ook
x+ 𝜔 ∈ def(f), geldt dat:
f(x+ 𝜔) = f(x)
Dan heet de functie f periodiek met periode 𝜔.
Grafisch: functiekromme herhaalt na elk interval met breedte 𝜔
Grafiek met periode 𝜔: door f te tekenen in interval [x0,x0+ 𝜔]
1.1.7. Inverse van een functie
De inverse relatie v.e. functie f, genoteerd als f-1, is gedefinieerd door:
(x0,y0) ∈ f-1 als en slechts als (x0,y0)
Inverse relatie niet altijd functie!
Als ∀ x1 ≠ x2 dan geldt dat f(x1) ≠ f(x2), dan is f-1 functie
Grafiek f en f-1 symmetrisch
Def(f-1) = im(f)
1. Inverse v.e. lineaire functie = lineaire functie
f(x) = ax + b a≠0
y = f-1(x)
x = f(y)
x = ay + b
1 𝑏
y = 𝑎x – 𝑎
, 2. Inverse v.e. kwadratische functie ≠ functie
f(x) = ax2 + bx + c a≠0
vb. f(x)=x2 y = f-1(x)
x = f(y)
x = y2
y = √𝑥 of y = -√𝑥
3. Inverse v.e. kwadratische functie met beperkt def.gebied = functie
f(x) = ax2 + bx + c a≠0
vb. f(x)=x2, x≥0 y = f-1(x)
x = f(y)
x = y2
y = √𝑥
1.2. Veeltermfuncties
Een veeltermfunctie is een f van de vorm…
y = f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0, an ≠ 0
…waarbij de graad n v.d. veeltermfunctie 𝜖 ℕ, de coëfficiënten a0, a1,…,an
𝜖 ℝ en def(f) = ℝ.
Constante functie: n=0 dus graad 0 → y = a0
Elke x-waarde dezelfde y-waarde
Rechte door (0,a0) \\ x-as
Geen nulpunten
Lineaire functie: n=1 dus graad 1 → y = a1x + a0
a1 ≠ 0
Rechte met 1 nulpunt
Snijpunten met assen (-a0/a1, 0) en (0,a0)
Kwadratische functie: n=2 dus graad 2 → y = a2x2 + a1x + a0
a2 ≠ 0
parabool met 1,2 of geen nulpunten
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper mltmdk. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €10,49. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 82191 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen