Samenvatting
Samenvatting Wiskunde II deel differentiaalvergelijkingen
- Vak
- Wiskunde II
- Instelling
- Universiteit Gent (UGent)
Wiskunde II deel differentiaalvergelijkingen
[Meer zien]Voorbeeld 2 van de 9 pagina's
Voorbeeld 2 van de 9 pagina's
In winkelwagen
Voorbeeld van de inhoud
Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde en eerstegraad
Een DVG van de 1ste orde en van de 1ste graad kan steeds geschreven worden als
⇔
'
M ( x , y )+ N ( x , y ) y =0❑ M ( x , y ) dx+ N ( x , y ) dy =0
Scheiden in veranderlijken
Als de DVG geschreven kan worden als
f ( x ) dx=g ( y ) dy
dan zegt men dat de veranderlijken kunnen gescheiden worden. Dit is het geval als M en N als een
product van een functie in x en met een functie in y kunnen geschreven worden of:
M ( x , y )=f 1 ( x ) f 2 ( y ) en N ( x , y )=g1 ( x ) g2 ( y )
OPLOSSINGSMETHODE
Dan is de DVG M ( x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 gelijkwaardig met
⇒
❑ f 1 ( x ) f 2 ( y ) dx+ g 1 ( x ) g 2 ( y ) dy=0
We vinden de oplossing uit
⇔ f 1(x) g ( y)
❑∫ dx=−∫ 2 dy (g 1 ( x ) ≠0 , f 2 ( y ) ≠ 0)
g1 ( x ) f 2( y )
Homogene diff erenti aalvergelijking
Een DVG M ( x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 is homogeen als M ( x , y ) en N ( x , y ) homogeen zijn van
dezelfde graad. Een functie f (x , y ) is homogeen van de n-de graad in x en y als voor elke λ geldt:
n
f ( λx , λy )=λ f ( x , y )
Praktisch is de DVG homogeen als de som van de coëfficiënten van de veeltermen gelijk zijn aan
elkaar.
OPLOSSINGSMETHODE
1. Stel y=ux of x=uy
' ' ' '
y =u+u x x =u+u y
2. Splits in veranderlijken
1
, Totale of exacte diff erenti aalvergelijking
∂ M ( x , y ) ∂ N (x , y )
M ( x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 is een exacte of totale DVG als =
∂y ∂x
OPLOSSINGSMETHODE
We zoeken de functie F ( x , y )
F ( x , y )=C
∂M (x , y)
→ =M (x , y ) (1)
∂x
∂M (x , y)
→ =N ( x , y) (2)
∂y
Uit (1): F ( x , y )=∫ M ( x , y ) dx +k ( y )
¿ u ( x , y ) +k ( y)
∂
Uit (2): (u ( x , y )+ k ( y ))≡ N ( x , y)
∂y
' ∂
k ( y )=N ( x , y ) − u(x , y)
∂y
k ( y )=∫ k ' ( y ) dy
F ( x , y )=u ( x , y ) +k ( y)
De algemene oplossing van de totale DVG wordt: F ( x , y )=C
2
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper Jonasxdd. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
Is Stuvia te vertrouwen?
4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)
Afgelopen 30 dagen zijn er 67474 samenvattingen verkocht
Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen
