Wiskunde Samenvatting Course 3
Week 1
1.3 Voorrangsregels:
1. H → haakjes
2. M → machten (worteltrekken is ook een macht)
3. V/D → van links naar rechts vermenigvuldigen/delen
4. O/A → van links naar recht optellen/aftrekken
Wat rekentrucs:
Vermenigvuldigen en delen met positieve en negatieve getallen:
X of / + -
+ + -
- - +
Opdrachten 21 t/m 25, zonder rekenmachine moet je kunnen! Antwoorden achterin boek.
,1.4 Breuken: teller, noemer en vereenvoudigen
3 Teller
Breuk
13 Noemer
Het vereenvoudigen van breuken: gebruik priemgetallen [ik weet niet zeker of je
daadwerkelijk alleen echt priemgetallen mag gebruiken].
Een priemgetal is een getal groter dan 1 dat slechts twee getallen als deler heeft, namelijk
1 en zichzelf. De eerste 30 priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 en 113. (als je de eerste 8 á 10
kent, dan moet het denk ik wel goed komen). 4 is bijvoorbeeld geen priemgetal. Ja, het is
deelbaar door 1 en zichzelf, maar het is ook deelbaar door 2, wat ervoor zorgt dat 4 geen
priemgetal is. 9 is bijvoorbeeld ook deelbaar door 3, naast 1 en zichzelf, en is dus geen
priemgetal.
Je moet bijvoorbeeld de volgende breuk vereenvoudigen:
180
462
Je kiest vervolgens het kleinste priemgetal dat in de teller en noemer past (het priemgetal
hoeft niet hetzelfde te zijn voor teller en noemer, maar dit is wel een stuk beter). Voor teller
en noemer is het beide in dit geval 2, dus je krijgt de volgende breuk (wanneer je meerder
priemgetallen kunt kiezen, probeer dan een priemgetal te kiezen dat hetzelfde “restgetal”
heeft in teller en noemer, zie opdr 30 i, l):
180 2 × 90
=
462 2 × 231
Vervolgens kijk je weer welk kleinste priemgetal er in teller en noemer past. In dit geval is het
2 voor teller en 3 voor noemer, en de nieuwe breuk wordt:
180 2 × 90 2 × 2 × 45
= =
462 2 × 231 2 × 3 × 77
Hier ga je mee door totdat je niet meer verder kunt vereenvoudigen, en uiteindelijk zal je de
volgende breuk krijgen:
180 2 × 90 2 × 2 × 45 2 × 2 × 3 × 15 2×2×3×3×5
= = = =
462 2 × 231 2 × 3 × 77 2 × 3 × 7 × 11 2 × 3 × 7 × 11
Nu kun je niet verder vereenvoudigen (je kunt nog door 5 delen voor de teller, en 11 voor de
noemer, wat 1 voor teller en noemer zal opleveren, maar dat wordt toch meteen weer
weggestreept.) Nu ga je de getallen die boven en onder de deelstreep staan, wegstrepen.
2×2×3×3×5 2 ×3 ×5
=
2 × 3 × 7 × 11 7 × 11
Nu kun je vermenigvuldigen en de vereenvoudiging oplossen:
2 ×3 ×5 30
=
7 × 11 77
,De breuk is nu zoveel mogelijk vereenvoudigd. Soms kan het zijn dat je de teller wel verder
kunt vereenvoudigen, maar de noemer niet, of andersom. Je moet dan stoppen met
vereenvoudigen, en beginnen weg te strepen [?].
Opdrachten 28 t/m 31, moet ook zonder rekenmachine kunnen!
1.5 Breuken: optellen en aftrekken
Het optellen en aftrekken van breuken is niet heel ingewikkeld. Je moet er op letten dat je de
noemer niet heel groot maakt.
Let op! Bij het rekenen met breuken is het erg handig om de helen in een breuk eruit te
2 5
halen. Wanneer je bijvoorbeeld 1 3 hebt, schrijf dit dan eerst op als 3 voordat je ermee gaat
rekenen.
Wanneer de noemers van de breuken gelijk zijn, kun je de tellers gewoon bij elkaar optellen,
bijvoorbeeld:
2 3 5
+ =
7 7 7
Hetzelfde geldt voor het aftrekken van breuken.
Wanneer de noemers niet gelijk zijn, wordt het moeilijker.
Bijvoorbeeld de volgende som:
5 7
+
12 60
Je hebt misschien geleerd dat je dit kan oplossen door de noemers te vermenigvuldigen, en
vervolgens de linker teller te vermenigvuldigen met de rechter noemer (dus 5 x 60) en de
rechter teller te vermenigvuldigen met de linker noemer (dus 7 x 12). Dat worden dan de
nieuwe tellers. De breuk ziet er dan als volgt uit:
300 84
+
720 720
Je hebt de noemers nu gelijk gemaakt, en kunt de breuken bij elkaar optellen. Het is alleen
dat je eigenlijk altijd de breuken zoveel mogelijk moet vereenvoudigen. Dat wordt nu veel
werk, en kost teveel tijd.
Een andere methode om deze som op te lossen is door naar een getal te zoeken waarmee
je de lage noemer (de linker in dit geval) moet vermenigvuldigen om bij de hoge noemer (de
rechter in dit geval) te komen, oftewel het zoeken naar gemeenschappelijke veelvouden.
Je hebt dus de volgende som:
5 7
+
12 60
De veelvouden van 12 zijn: 12 24 36 48 60 72 enz.
De veelvouden van 60 zijn: 60 120` 180 240 300 360 enz.
Je zoek nu naar het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 12 en 60. Dat is dus 60.
Daarmee kun je de breuk op de volgende manier optellen:
, 5 7 5 ×5 7 ×1 25 7 32 16 8
+ = + = + = = =
12 60 12 × 5 60 × 1 60 60 60 30 15
Je vermenigvuldigt de linker breuk met 5, want het vijfde veelvoud van 12 is het kleinste
veelvoud van 12 en 60. Je vermenigvuldigt de rechter breuk met 1, want het eerste veelvoud
van 60 is het kleinste veelvoud van 12 en 60.
De som is nu uitgerekend, en zoveel mogelijk vereenvoudigd.
Het aftrekken van breuken werkt precies op dezelfde manier, alleen trek je dan de tellers van
elkaar af in plaats ze bij elkaar op te tellen, bijvoorbeeld:
5 7 5 ×5 7 ×1 25 7 18 9 3
− = − = − = = =
12 60 12 × 5 60 × 1 60 60 60 30 10
Opdrachten 32 t/m 36, ook zonder rekenmachine.
Week 2
1.6 Breuken: vermenigvuldigen en delen
Het vermenigvuldigen en delen van breuken is niet heel moeilijk. Het maakt niet uit of de
tellers/noemers gelijk zijn wanneer je gaat vermenigvuldigen of delen.
Het vermenigvuldigen van breuken doe je door de tellers en de noemers met elkaar te
vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld de volgende som:
1 1
1 × 1
2 2
Haal eerst de helen uit de breuk:
1 1 3 3
1 × 1 = ×
2 2 2 2
Nu kun je de tellers en noemers vermenigvuldigen om de som op te lossen:
1 1 3 3 9
1 × 1 = × =
2 2 2 2 4
De som is nu opgelost. De helen hoeven er niet per se uit worden gehaald [?].
Het op deze manier oplossen van breuken is snel en simpel, maar wanneer de getallen
groter worden wordt het een stuk moelijker om het op deze manier te doen. Neem
bijvoorbeeld de volgende som:
12 26
×
13 42
Je kunt de teller en noemers met elkaar gaan vermenigvuldigen, maar het vereenvoudigen
wordt dan ingewikkeld.
,Een andere manier om dit soort sommen op te lossen is om priemgetallen te gebruiken.
De volledig uitgewerkte som zal er dan als volgt uitzien:
12 26 2×2×3 2 × 13 2 × 2 × 3 × 2 × 13
× = × =
13 42 13 (𝑜𝑓 1 × 13) 2×3×7 13 × 2 × 3 × 7
Je kunt nu gaan wegstrepen. Wat er overblijft kun je met elkaar vermenigvuldigen, en de
som is opgelost, en zo vereenvoudigd mogelijk.
2 × 2 × 3 × 2 × 13 4
=
13 × 2 × 3 × 7 7
Er is een erg handig trucje voor het delen van breuken. Het delen van breuken is namelijk
het vermenigvuldigen met het omgekeerde. Je hebt bijvoorbeeld het volgende som:
3
4
2
3
Je kunt de som herschrijven naar de volgende som:
3 3
×
4 2
En nu kun je de som als een vermenigvuldiging oplossen. Omdat dit kleine getallen zijn, hoef
je niet per se de methode van priemgetallen toe te passen, maar kun je simpel de tellers en
noemers met elkaar vermenigvuldigen.
Opdrachten 37 t/m 42, zonder rekenmachine.
Extra stof: percentages
Een percentage (%) is een breuk met de noemer 100
Een promillage (‰) is een breuk met de noemer 1000
Wanneer je een percentage van iets neemt, vermenigvuldig je eigenlijk met breuken,
22 748
bijvoorbeeld 22 % van 34 = ∙ 34 = = 7,48
100 100
Opgave 1:
Bereken:
a) 18% van 214
b) 2% van 8% van 25
c) 5‰ van 350
Opgave 2:
a) Hoeveel procent is 25 van 75?
b) Hoeveel procent is 27 van 99?
, c) Hoeveel procent is 125 van 50?
Antwoorden:
Opgave 1: a) 38,5 b) 0,04 c) 1,75
1 3
Opgave 2: a) 33 % b) 27 % c) 250%
3 11
Procentuele groei. Het houd in dat je een percentage van een getal, bij dat getal optelt.
Bijvoorbeeld:
Op een petrischaal zit een bacteriekolonie ter grootte van 300 bacteriën. De kolonie neemt
met 6% per uur in grootte toe. Hoeveel bacteriën zijn er na 1 uur?
De bacteriën nemen dus met 6% per uur toe. De som wordt dus 300 + 6% van 300, oftewel
300 + 0,06 x 300 = 300 + 18 = 318. Na 1 uur zal de kolonie een grootte hebben van 318
bacteriën.
Je kunt dit ook sneller berekenen, namelijk door de berekening in één keer te doen: 300 x
1,06. Hieruit komt ook 318. Het getal 1,06 wordt de groeifactor genoemd. Een algemene
𝑝
formule voor de groeifactor voor een groei van p% is 1 + 100. Let op! Wanneer je
bijvoorbeeld een groeifactor hebt van 5, dan is de groei niet 500%, maar 400%, want
400
5=1+
100
Zie de reader voor wat voorbeelden.
Procentuele afname. Het houd in dat je een percentage van een getal, van dat getal afhaalt.
Het werkt verglijkbaar als bij een procentuele groei. Bijvoorbeeld:
Je hebt weer 300 bacteriën op een petrischaal, maar dit keer neemt de kolonie af met 6%
per uur. Hoeveel heb je er na 1 uur?
De bacteriën nemen dus met 6% per uur af. De som wordt dus 300 – 6% van 300, oftewel
300 – 0,06 x 300 = 300 -18 = 282. Na 1 uur zal de kolonie dus nog een grote hebben van
282 bacteriën.
Ook dit kun je sneller, in één keer, berekenen door een groeifactor te gebruiken. De
algemene formule voor het berekenen van de groeifactor bij een p% afname bij een afname
𝑝
is 1 − 100. Let op! Ook al gaat het om een afname, spreek je nog steeds van een groeifactor.
6
De formule invullen geeft 1 − 100 = 0,94. 300 x 0,94 zal ook 282 als uitkomst geven.
Zie de reader voor wat voorbeelden. Zorg ervoor dat je opgave 7 begrijpt. Gebruik de
formule:
(nieuw – oud) / oud x 100%.
, Week 3
2.1 Machten: gehele exponenten
4 Exponent
Macht
3 Grondgetal
De macht hierboven betekent letterlijk 3 x 3 x 3 x 3. Machten zijn handig te gebruiken bij
procentuele groei. Je hebt bijvoorbeeld weer een bacteriekolonie met een grootte van 300
die 6% per uur groeit. Hoeveel bacteriën heb je naar 5 uur?.
De groeifactor bij deze vraag is 1,06. Met een macht kun je deze vraag makkelijk oplossen:
300 x 1,065 ≈ 401 bacteriën. Wat je hier in werkelijkheid doet is 300 x 1.06 x 1.06 x 1.06 x
1.06 x 1.06 ≈ 401.
Er zijn een aantal belangrijke rekenregels die je moet weten bij het rekenen met machten:
Som Voorbeeld Hoe anders
Machten met hetzelfde grondgetal, 23 x 25 23+5 = 28, want wat er in werkelijkheid
maar verschillende exponenten staat is 2x2x2 x 2x2x2x2x2
vermenigvuldigen
Machten met hetzelfde grondgetal, 25-3 = 22, want wat er in werkelijkheid
maar verschillende exponenten delen 2×2×2×2×2
staat is 2×2×2 . Je kunt nu
wegstrepen, en houd 22 over.
Een macht over een macht heffen (22)3 22 x 3 = 26, want wat er in
werkelijkheid staat is 22 x 22 x 22 = 26
Verschillende grondgetallen 22 x 32 (2x3)2, want wat er in werkelijkheid
verheffen met dezelfde macht staat is 2x2 x 3x3
Let op bij het rekenen met negatieve grondgetallen. Je hebt bijvoorbeeld de volgende 2
sommen:
-22 en (-2)2
Omdat je eerst machten moet doen, en daarna pas + en -, staat er bij de eerste som
– 2 x 2 = -4
Bij de rechter som staan er haakjes om het grondgetal. Wat er dus eigenlijk staat is
-2 x -2 = 4 (want – keer – wordt plus, zie 1.3).
Dus samenvattend:
ap x aq = ap+q
ap / aq = ap-q
(ap)q = apxq
ap x bp = (axb)p
En denk bij het rekenen met negatieve grondgetallen of de uitkomst negatief of positief zal
zijn. (-2)3 bijvoorbeeld zal wel een negatieve uitkomst geven (want – keer – wordt positief,
maar nog een keer – wordt weer negatief)
Opdrachten 1 t/m 3, waarvan opgave 1 zonder rekenmachine moet kunnen!
,2.2 Machten: negatieve gehele exponenten
Het is belangrijk om te realiseren dat iets tot de macht 0 altijd gelijk is aan 1,
bijvoorbeeld a0 = 1. Dit kun je herleiden, want a3 / a3 = a3-3 = a0, en omdat a3 / a3 ook 1 is,
moet a0 wel 1 zijn.
Wanneer je een macht hebt waarbij de exponent negatief is, dan kun je die macht ook
opschrijven als een breuk, bijvoorbeeld
1
a-p =
𝑎𝑝
Wat voorbeelden:
Deze is
belangrijk
Aantekening van het bord, beetje onduidelijk allemaal:
,Een voorbeeld som:
𝑥 −2 2
( −5 )
𝑥
Uitwerking:
Je had deze som ook op een snellere manier kunnen oplossen. Want wanneer je machten
deelt met hetzelfde grondgetal, maar een andere exponent, dan mag je de exponenten van
elkaar afhalen:
Opdrachten 4 t/m 7
, 2.3 Machten: gebroken exponent
Als een macht een gebroken exponent (dus een breuk) heeft, heb je te maken met een
wortel.
Een macht met een gebroken exponent is dus een notatie voor een wortel.
Een paar belangrijke rekenregels:
1
√a = 𝑎 2
1
𝑎 = p√a
𝑝
𝑝
𝑎 = q√ap𝑞
1
𝑎𝑝 = p√a is het belangrijkste. Bijvoorbeeld:
1
4
𝑎4 = √𝑎
Waarom dat zo is, is te verklaren:
4 4 4 4
√𝑎 × √𝑎 × √𝑎 × √𝑎 = 𝑎
1 1 1 1
𝑎 4 × 𝑎 4 × 𝑎 4 × 𝑎 4 = 𝑎1 = 𝑎
Haha sike ik begrijp het ook niet *sigh*, dit is gewoon wat ik van het bord het overgenomen.
Je moet goed met alles wat je tot nu toe hebt geleerd oefenen. De stof van de eerste 3
weken vormt de basis van de stof van de komende weken, dus het is belangrijk dat je alles
goed kent. Zorg ervoor dat je alle rekenregels kent, en dat je kunt redeneren waarom een
regel zo is (dat zorgt ervoor dat je de regel kunt onthouden).
Opdrachten 8 t/m 13, 9 moet zonder rekenmachine kunnen
Een voorbeeld van een som: zie volgende pagina
