Hoofdstuk 1: Hele getallen
1.2 Basisvaardigheden
De romeinen gebruikte het volgende systeem voor hun getallen:
1 I
5 V
10 X
50 L
100 C
500 D
1000 M
Met behulp van 2 regels konden de romeinen het gebruiken als rekenmiddel:
- Een symbool gevolgd door een symbool voor een even groot of een kleiner getal betekent
dat de waarden van beide symbolen bij elkaar opgeteld moet worden. Voorbeeld: XX = 10 +
10 = 20 en XII = 12
- Een symbool gevolgd door een symbool met een grotere waarde betekent dat het kleinste
van het grootste symbool moet worden afgetrokken. Voorbeeld: IX = 10 – 1 = 9
Wij gebruiken het decimale positiestelsel, met eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen.
Bewerkingen zijn rekenkundige activiteiten die met getallen uitgevoerd kunnen worden, de
belangrijkste zijn; optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
Optellen= samenvoegen van 2 of meer hoeveelheden.
Aftrekken= splitsen, verminderen, vergelijken en inverse van optellen; van splitsen is sprake als bij
een hoeveelheid wordt gevraagd hoeveel er over blijft wanneer alvast een groepje benoemd wordt.
Bij verminderen gaat het om terugtellen. Bij vergelijken gaat het om het verschil tussen twee
hoeveelheden. Bij de inverse gaat het om het kijken hoeveel er nog bij moet om een bepaalde
hoeveelheid te krijgen.
Vermenigvuldigen= herhaald optellen of vermenigvuldigen met een factor.
Delen= eerlijk verdelen, het inverse van vermenigvuldigen en ratio (verhouding).
Bij handig rekenen wordt vaak gebruik gemaakt van de eigenschappen van de bewerking en
strategieën:
1. De communicatieve of wisseleigenschap: 3 + 4 = 4 +3 ; 3 x 4 = 4 x 3
2. De distributieve of verdeeleigenschap: 8 x (5+7) = (8x5) + (8x7)
3. De associatieve of schakeleigenschap: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5)
4. De inverse eigenschap: 24:3 = 8 dus 8 x 3 = 24
5. Compenseren/transformeren of termen veranderen: 124 + 189 = 113 + 200 ; 2876 – 387 =
2889 – 400
6. Groter of kleiner maken bij vermenigvuldigen: 48 x 75 = 12 x 300
7. Groter of kleiner maken bij delen: 336:12 = 112:4
De kenmerken van deelbaarheid helpen bij het snel en flexibel vinden van een ‘handig reken’-
oplossing.
, Een
getal is
als .... Voorbeeld
deelbaa
r door
38 is deelbaar door 2, want eindigt op een
2 het laatste cijfer even is,.dus 0, 2, 4, 6 of 8
even getal (38 = 2 x 19)
261 is deelbaar door 3, want 2+6+1 = 9
3 de som van de cijfers deelbaar is door 3
(261 = 3 x 87)
het getal gevormd door de twee laatste 244 is deelbaar door 4, want 44 is
4
cijfers deelbaar is door 4 deelbaar door 4 (244 = 4 x 61)
25 is deelbaar door 5, want eindigt op een
5 het laatste cijfer een 0 of een 5 is
5 (25 = 5 x 5)
738 is deelbaar door 6, want 7+3+8 = 18
de som van de cijfers door 3 deelbaar is
6 is deelbaar door 3 en het laatste cijfer (8)
en het laatste cijfer even is
is even (738 = 6 x 123)
5 x het laatste cijfer opgeteld bij de rest
168 is deelbaar door 7, want 5 x 8 = 40,
van het getal, door 7 deelbaar is. Een of
7 en 40 + 16 = 56, en 56 is deelbaar door 7
meer nullen als laatste cijfer(s) worden
(168 = 7 x 24)
weggelaten
2344 is deelbaar door 8, omdat 344
deelbaar is door 8 (2344 = 8 x 293). Je
kunt 344 ook 3 maal door 2 delen, en als
het getal gevormd door de drie laatste
8 je dan een geheel getal overhoudt, is het
cijfers door 8 deelbaar is
door 8 deelbaar. Kijk maar: 344 :2 = 150 +
22 = 172; 172 : 2 = 50 + 36 = 86; 86 : 2 =
43, dus 344 = 8 x 43
1404 is door 9 deelbaar, want 1+4+0+4 =
de som van de cijfers door 9 gedeeld kan
9 9, en 9 is deelbaar door 9 (1404 = 9 x
worden
156)
10 het op een 0 eindigt
de som van het eerste, derde, vijfde,
501732 is deelbaar door 11, want 2 + 7 +
zevende cijfer, enz. (altijd rechts
0 = 9 en daarvan afgetrokken 3 + 1 + 5 =
11 beginnen), verminderd met de som van
9 geeft als resultaat 0 (11 x 45612 =
het tweede, vierde, zesde enz. cijfer, een
501732)
veelvoud van 11 of gelijk aan 0 is
de som van de cijfers door 3 deelbaar is, 5472 is deelbaar door 12, want 5+4+7+2
12 en het getal gevormd door de twee laatste = 18 is deelbaar door 3, en 72 is deelbaar
cijfers door 4 deelbaar is door 4 (12 x 456 = 5472)
De volgende afspraken zijn er gemaakt over het uitrekenen van een som:
- Bewerkingen tussen haakjes worden altijd het eerst uitgerekend.
- Daarna volgen de machtsheffingen en worteltrekkingen.
- Vermenigvuldigen en delen gaan voor optellen en aftrekken.
- Vermenigvuldigen en delen gaan in de volgorde dat ze staan.
- Optellen en aftrekken gaan in de volgorde dat ze staan.
Het model dat het dichts bij vermenigvuldigen staat is het rechthoekmodel, dit wordt ook wel het
oppervlakte model genoemd. In het rechthoekmodel kunnen een aantal belangrijke eigenschappen
herkend worden:
, - Vermenigvuldigen is herhaald optellen.
- De communicatieve eigenschap
- De distributieve eigenschap
- De associatieve eigenschap
Ook een rekenmachine wordt veel gebruikt deze dagen. Er zijn 4 didactische eigenschappen aan het
gebruik van een rekenmachine tijdens de rekenles:
1. De rekenmachine als vlotte rekenaar.
2. De rekenmachine als controlemiddel.
3. De rekenmachine als middel tot ontdekking van wiskundige relaties.
4. De rekenmachine als spelletjesbron.
1.3 Repertoire
De belangrijkste vertegenwoordiger van het positiestelsel is het tientallig of decimale stelsel. Dit
stelsel is gebaseerd op het getal 10, alle getallen kunnen worden uitgedrukt in machten van 10.
Het tweetallig of binaire stelsel bestaat uit de cijfers 0 en 1. De getallen 0 tot en met 10 decimaal zien
er binair als volgt uit:
Decimaal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Binair 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010
Net als bij het tientallig stelsel bepaalt de plaats van het cijfer de waarde. Bij het binaire stelsel ga je
echter niet uit van het grondgetal 10, maar van het grondgetal 2.
100111 betekent dan:
1x2 (tot de macht 0)
1x2 (tot de macht 1)
1x2 (tot de macht 2)
0x2 (tot de macht 3)
0x2 (tot de macht 4)
1x2 (tot de macht 5)
Decimaal is dit: 32 + 4 + 2 + 1 = 39, oftewel 100111 = 39
Binaire getallen met één 1 en verder allemaal nullen, hebben de waarde van een macht van 2. Kijk
maar:
00000001 = 1 (20, oftewel 2:2)
00000010 = 2 (21)
00000100 = 4 (22, oftewel 2x2)
00001000 = 8 (23, oftewel 2x2x2)
00010000 = 16 (24, oftewel 2x2x2x2)
00100000 = 32 (25, oftewel 2x2x2x2x2)
01000000 = 64 (26, oftewel 2x2x2x2x2x2)
10000000 = 128 (27, oftewel 2x2x2x2x2x2x2)
Als je dit weet, kun je de decimale waarde van een binair getal eenvoudig uitrekenen. Kijk maar:
00000101 = 4 + 1 = 5
00110011 = 32 + 16 + 2 + 1 = 51
De maximale waarde van een byte is 11111111 (acht enen).
De decimale waarde van 11111111 = 255
1.2 Basisvaardigheden
De romeinen gebruikte het volgende systeem voor hun getallen:
1 I
5 V
10 X
50 L
100 C
500 D
1000 M
Met behulp van 2 regels konden de romeinen het gebruiken als rekenmiddel:
- Een symbool gevolgd door een symbool voor een even groot of een kleiner getal betekent
dat de waarden van beide symbolen bij elkaar opgeteld moet worden. Voorbeeld: XX = 10 +
10 = 20 en XII = 12
- Een symbool gevolgd door een symbool met een grotere waarde betekent dat het kleinste
van het grootste symbool moet worden afgetrokken. Voorbeeld: IX = 10 – 1 = 9
Wij gebruiken het decimale positiestelsel, met eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen.
Bewerkingen zijn rekenkundige activiteiten die met getallen uitgevoerd kunnen worden, de
belangrijkste zijn; optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
Optellen= samenvoegen van 2 of meer hoeveelheden.
Aftrekken= splitsen, verminderen, vergelijken en inverse van optellen; van splitsen is sprake als bij
een hoeveelheid wordt gevraagd hoeveel er over blijft wanneer alvast een groepje benoemd wordt.
Bij verminderen gaat het om terugtellen. Bij vergelijken gaat het om het verschil tussen twee
hoeveelheden. Bij de inverse gaat het om het kijken hoeveel er nog bij moet om een bepaalde
hoeveelheid te krijgen.
Vermenigvuldigen= herhaald optellen of vermenigvuldigen met een factor.
Delen= eerlijk verdelen, het inverse van vermenigvuldigen en ratio (verhouding).
Bij handig rekenen wordt vaak gebruik gemaakt van de eigenschappen van de bewerking en
strategieën:
1. De communicatieve of wisseleigenschap: 3 + 4 = 4 +3 ; 3 x 4 = 4 x 3
2. De distributieve of verdeeleigenschap: 8 x (5+7) = (8x5) + (8x7)
3. De associatieve of schakeleigenschap: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5)
4. De inverse eigenschap: 24:3 = 8 dus 8 x 3 = 24
5. Compenseren/transformeren of termen veranderen: 124 + 189 = 113 + 200 ; 2876 – 387 =
2889 – 400
6. Groter of kleiner maken bij vermenigvuldigen: 48 x 75 = 12 x 300
7. Groter of kleiner maken bij delen: 336:12 = 112:4
De kenmerken van deelbaarheid helpen bij het snel en flexibel vinden van een ‘handig reken’-
oplossing.
, Een
getal is
als .... Voorbeeld
deelbaa
r door
38 is deelbaar door 2, want eindigt op een
2 het laatste cijfer even is,.dus 0, 2, 4, 6 of 8
even getal (38 = 2 x 19)
261 is deelbaar door 3, want 2+6+1 = 9
3 de som van de cijfers deelbaar is door 3
(261 = 3 x 87)
het getal gevormd door de twee laatste 244 is deelbaar door 4, want 44 is
4
cijfers deelbaar is door 4 deelbaar door 4 (244 = 4 x 61)
25 is deelbaar door 5, want eindigt op een
5 het laatste cijfer een 0 of een 5 is
5 (25 = 5 x 5)
738 is deelbaar door 6, want 7+3+8 = 18
de som van de cijfers door 3 deelbaar is
6 is deelbaar door 3 en het laatste cijfer (8)
en het laatste cijfer even is
is even (738 = 6 x 123)
5 x het laatste cijfer opgeteld bij de rest
168 is deelbaar door 7, want 5 x 8 = 40,
van het getal, door 7 deelbaar is. Een of
7 en 40 + 16 = 56, en 56 is deelbaar door 7
meer nullen als laatste cijfer(s) worden
(168 = 7 x 24)
weggelaten
2344 is deelbaar door 8, omdat 344
deelbaar is door 8 (2344 = 8 x 293). Je
kunt 344 ook 3 maal door 2 delen, en als
het getal gevormd door de drie laatste
8 je dan een geheel getal overhoudt, is het
cijfers door 8 deelbaar is
door 8 deelbaar. Kijk maar: 344 :2 = 150 +
22 = 172; 172 : 2 = 50 + 36 = 86; 86 : 2 =
43, dus 344 = 8 x 43
1404 is door 9 deelbaar, want 1+4+0+4 =
de som van de cijfers door 9 gedeeld kan
9 9, en 9 is deelbaar door 9 (1404 = 9 x
worden
156)
10 het op een 0 eindigt
de som van het eerste, derde, vijfde,
501732 is deelbaar door 11, want 2 + 7 +
zevende cijfer, enz. (altijd rechts
0 = 9 en daarvan afgetrokken 3 + 1 + 5 =
11 beginnen), verminderd met de som van
9 geeft als resultaat 0 (11 x 45612 =
het tweede, vierde, zesde enz. cijfer, een
501732)
veelvoud van 11 of gelijk aan 0 is
de som van de cijfers door 3 deelbaar is, 5472 is deelbaar door 12, want 5+4+7+2
12 en het getal gevormd door de twee laatste = 18 is deelbaar door 3, en 72 is deelbaar
cijfers door 4 deelbaar is door 4 (12 x 456 = 5472)
De volgende afspraken zijn er gemaakt over het uitrekenen van een som:
- Bewerkingen tussen haakjes worden altijd het eerst uitgerekend.
- Daarna volgen de machtsheffingen en worteltrekkingen.
- Vermenigvuldigen en delen gaan voor optellen en aftrekken.
- Vermenigvuldigen en delen gaan in de volgorde dat ze staan.
- Optellen en aftrekken gaan in de volgorde dat ze staan.
Het model dat het dichts bij vermenigvuldigen staat is het rechthoekmodel, dit wordt ook wel het
oppervlakte model genoemd. In het rechthoekmodel kunnen een aantal belangrijke eigenschappen
herkend worden:
, - Vermenigvuldigen is herhaald optellen.
- De communicatieve eigenschap
- De distributieve eigenschap
- De associatieve eigenschap
Ook een rekenmachine wordt veel gebruikt deze dagen. Er zijn 4 didactische eigenschappen aan het
gebruik van een rekenmachine tijdens de rekenles:
1. De rekenmachine als vlotte rekenaar.
2. De rekenmachine als controlemiddel.
3. De rekenmachine als middel tot ontdekking van wiskundige relaties.
4. De rekenmachine als spelletjesbron.
1.3 Repertoire
De belangrijkste vertegenwoordiger van het positiestelsel is het tientallig of decimale stelsel. Dit
stelsel is gebaseerd op het getal 10, alle getallen kunnen worden uitgedrukt in machten van 10.
Het tweetallig of binaire stelsel bestaat uit de cijfers 0 en 1. De getallen 0 tot en met 10 decimaal zien
er binair als volgt uit:
Decimaal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Binair 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010
Net als bij het tientallig stelsel bepaalt de plaats van het cijfer de waarde. Bij het binaire stelsel ga je
echter niet uit van het grondgetal 10, maar van het grondgetal 2.
100111 betekent dan:
1x2 (tot de macht 0)
1x2 (tot de macht 1)
1x2 (tot de macht 2)
0x2 (tot de macht 3)
0x2 (tot de macht 4)
1x2 (tot de macht 5)
Decimaal is dit: 32 + 4 + 2 + 1 = 39, oftewel 100111 = 39
Binaire getallen met één 1 en verder allemaal nullen, hebben de waarde van een macht van 2. Kijk
maar:
00000001 = 1 (20, oftewel 2:2)
00000010 = 2 (21)
00000100 = 4 (22, oftewel 2x2)
00001000 = 8 (23, oftewel 2x2x2)
00010000 = 16 (24, oftewel 2x2x2x2)
00100000 = 32 (25, oftewel 2x2x2x2x2)
01000000 = 64 (26, oftewel 2x2x2x2x2x2)
10000000 = 128 (27, oftewel 2x2x2x2x2x2x2)
Als je dit weet, kun je de decimale waarde van een binair getal eenvoudig uitrekenen. Kijk maar:
00000101 = 4 + 1 = 5
00110011 = 32 + 16 + 2 + 1 = 51
De maximale waarde van een byte is 11111111 (acht enen).
De decimale waarde van 11111111 = 255
